1.
i
Длины сторон треугольника — целые числа. Известно, что длины двух сторон — 1 и 3 см. Найдите длину третьей стороны.
Образовательный портал «РЕШУ ОЛИМП» — математика
Вариант № 757
О. А. Иванов 100 олимпиадных задач для старшеклассников. Задание 2
2.
i
Решите графически уравнение 
и объясните причину появления «лишнего» корня в обычном решении.
— верхняя половина повернутой и сдвинутой параболы. Появление постороннего корня при возведении в квадрат связано с тем, что уравнения 
и 
не равносильны. Если известно, что 
то уравнение 
равносильно системе 
3.
i
Имеется пирамида, составленная из 10 колец разного диаметра, надетых на палочку так, что меньшее кольцо всегда лежит на большем. Требуется переложить эти кольца на другую палочку (используя вспомогательную третью); при этом запрещено класть большее кольцо на меньшее. Какое наименьшее число перекладываний потребуется?
получим, что потребуются, соответственно, одно, три или семь перекладываний. Для того, чтобы переложить «башню» из четырех колец, необходимо: снять верхние три кольца, затем переложить нижнее кольцо на свободную палочку и, наконец, положить на него три кольца меньшего диаметра. Таким образом, потребуются 
перекладываний. Решим задачу для произвольного числа n колец. Из приведенного рассуждения сразу следует рекуррентная формула для чисел pn наименьшего числа перекладываний для башни, состоящей из n колец: 
-е, кольцо, нам вначале надо переложить n лежащих над ним колец, на что будут затрачено pn перекладываний. Затем мы переложим нижнее кольцо и потратим еще pn перекладываний, чтобы поместить на нем n верхних колец. Нетрудно догадаться, что 
После этого осталось сделать последний шаг, состоящий в применении метода математической индукции для доказательства найденной формулы. Таким образом, осталось решить следующую задачу: известно, что 
и для всех n 
Докажите, что 
База индукции: 
Индукционный переход: если 
то
4.
i
Запишите точное значение для 
не используя обозначений тригонометрических функций.
(n квадратных корней)
5.
i
Проверьте, что 
и найдите еще несколько подобных примеров.
Возведя обе части в квадрат, получим, что 
или 
Таким образом, данное равенство справедливо тогда и только тогда, когда 
При 
мы получаем данное в задаче равенство. Далее можно, например, взять 
и 
получив равенства 
и 
и 6.
i
На катетах прямоугольного треугольника площади 1 как на диаметрах построены полукруги, расположенные вне этого треугольника. Найдите суммарную площадь частей этих полукругов, расположенных вне круга, описанного около этого треугольника.
7.
i
Выведите признак делимости на три чисел, записанных в двоичной системе.
то 
значит, 
8.
i
Двести солдат выстроены прямоугольником 
Кто окажется выше, самый низкий среди двадцати самых высоких в 20 рядах этого прямоугольника или же самый высокий их десяти самых низких в его 10 колоннах?
по выбору N и V в колонне и шеренге соответственно.9.
i
В классе 5 девочек и 19 мальчиков. Сколькими способами можно составить пару для участия в теннисном турнире в: а) смешанном разряде; б) парном женском; в) парном мужском?
то 
Или, рассуждая иначе: имеется 5 способов выбора первой участницы пары и четыре — второй. Поскольку каждая пара появилась при таком способе подсчета дважды: {Аня, Соня} = {Соня, Аня}, то число различных женских пар вдвое меньше, чем 
то есть равно десяти.10.
i
Может ли быть, чтобы любые два жителя Китая отличались набором своих зубов?
млрд что больше, чем число жителей Китая. На примере этой задачи хорошо поясняется тождество 
именно 
— число вариантов распределения k зубов (если другие отсутствуют).