Всего: 75 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–75
Добавить в вариант
Решите систему уравнений
Сложим первое уравнение, умноженное на 3, и второе. Получим,
после деления на 10 и преобразований,
Сумма двух квадратов может равняться нулю только в случае, когда каждый из этих квадратов равен нулю. Поэтому, ничего кроме 
не может являться решением нашей системы.
Для окончания решения необходимо проверить, что найденные числа подходят:
Ответ: 
Комментарий.
Достаточно проверить, что найденные числа подходят хотя бы в одно из уравнений. Другое решение. Посмотрим на первое уравнение как на уравнение относительно x при фиксированном y:
Тогда четверть его дискриминанта равняется
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Решить уравнение
Преобразуем исходное уравнение:
Так как область допустимых значений данного уравнения задается условием: 
то
откуда следует, что
Ответ: {3; 7}.
Докажите неравенство 
При каком наибольшем k верно неравенство
Первое неравенство задачи следует из тождества
Положив во втором неравенстве 
получим 
значит, 
Доказать это равенство при 
можно точно также, как и первое.
Ответ: 
Проверьте, что 
Безусловно, данное равенство можно проверить непосредственно, но хорошо бы его «разгадать». Его левая часть имеет вид
Найдите сумму дробей
Перепишем общий член последовательности в виде:
Тогда
Ответ: 
Докажите, что для любого 
выполнено неравенство: 
Преобразуем исходное неравенство к эквивалентному виду
В полученном выражении 
при всех 
и 
при всех x, поэтому оно неотрицательно при всех 
При каких целых k, m, n имеет место равенство 
Выполнить полное исследование задачи и привести несколько примеров.
Запишем равенство в виде
Далее
Так как 43 и 47 — простые числа, то возможны четыре варианта:
В вариантах а и б после почленного сложения уравнений получим 
При этом значении k имеем 
В вариантах в и г получим 
При этом значении k имеем
Ответ: равенство выполняется, если в тройке 
или 
m — любое четное, а 
Пример: 45, 0, 1.
или m — любое четное, а Пример: 45, 0, 1.Найти все пары целых чисел a и b таких, что числа 
и 
являются целыми.
Очевидно, что числа a и b должны иметь следующий вид 
Тогда числа 
и 
должны являться полными квадратами. Если одно из чисел 
равно нулю, то второе также должно являться полным квадратом. Если оба числа больше нуля, то 
и 
Раскрыв скобки и сложив, получаем 
чего не может быть.
Ответ: 
при всех 
при всех На доске написаны числа a, b и с. Их стёрли, а взамен записали числа 
После этого оказалось, что на доске написаны те же числа, что и вначале ( возможно, в другом порядке). Найдите все возможные значения суммы a + b + с.
Из условия следует, что сумма «новых» чисел совпадает с суммой 
исходных чисел, то есть
Выражение в левой части совпадает с числом 
поэтому это равенство равносильно такому: 
откуда 
или 
Осталось привести примеры чисел a, b и c, при которых получаются указанные значения s. Для 
подойдёт, например, набор 
Для можно взять набор 
Ответ: 0 или 1.
За каждое правильное значение суммы — 7 баллов.
Указаны примеры наборов, для которых эти значения достигаются — ещё 11 баллов.
Вещественные числа x и y таковы, что 
и 
Докажите, что
Сначала докажем, что для положительных чисел a, b, c, d справедливо неравенство
Действительно, обе части неравенства положительны. Возведя его в квадрат получим
или
Последнее неравенство есть неравенство о средних для чисел ad и bc. Из неравенства (1) следует, что
Обозначим 
Тогда
Осталось доказать, что
Возводя в квадрат, получим равносильное неравенство
Неравенство доказано.
Отметим, что минимальное значение 10 достигается, когда 
Но еще необходимо, чтобы достигалось равенство в неравенстве (1). Для этого должно выполняться равенство 
то есть,
Раскрыв скобки, получим уравнение 
Система уравнений 
и 
имеет единственное решение 
Приведем другое решение.
Обозначим 
и 
тогда 
и 
Имеем
так как
В решении использовано неравенство между средним квадратичным и средним арифметическим
Задача сведена к верному неравенству от одной переменной, которое не доказано — 10 баллов.
В верном решении использовано верное, но не общеизвестное неравенство, которое не доказано (например, 
—
Положительные числа a, b и c таковы, что выполнены равенства 
Найдите a + b + c.
Отложим из одной точки T отрезки TA, TB и TC с длинами a, b и c соответственно так, чтобы
Тогда по теореме косинусов, при учете соотношения 
получаем, что 
Видим, что по теореме Пифагора треугольник ABC прямоугольный 
причем его катет AB в два раза короче гипотенузы AC, откуда следуют равенства 
и 
Отметим точку B1 — середину гипотенузы AC и такую точку C1, что треугольники ABC и AB1C1 равны и точки C1 и B по разные стороны 
и 
Последнее равенство обусловлено тем, что треугольник ATT1 получается равносторонним, поскольку точки T и T1 отличаются поворотом на 60° с центром в точке A.
Осталось заметить, что точки B, T, T1 и C1 лежат на одной прямой, поскольку
и 
В итоге получаем, что
a BC1 может быть вычислено из теоремы косинусов для треугольника BAC1:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Получим ответ алгебраическими методами. Вычтем из первого равенства второе. Получим
то есть
Аналогично, вычитая из второго равенства третье и из третьего первое, получим
Если обозначить 
то можно переписать предыдущие соотношения как 
и 
Теперь сложим все исходные равенства:
Нетрудно видеть, что левую часть можно выразить следующим образом:
что означает
Домножением на 
получаем квадратное уравнение относительно s2: 
корнями которого являются 
и 
Однако первое из значений явно вступает в противоречие с равенством (1):
Значит, остается 
то есть 
Из ниже перечисленного списка используется один наибольший подходящий критерий.
Любое верное решение задачи — 7 баллов.
Верное в остальном решение с неправильным ответом, полученным в результате арифметической ошибки — 6 баллов.
Получено несколько ответов и не исключены неверные — 6 баллов.
Произведен переход к геометрической задаче: рассмотрен треугольник со сторонами 1, 
2 и точка внутри него на расстояниях a, b, c от вершин — 3 балла.
Разности 
и 
выражены через 
— 2 балла.
Есть верный ответ — 1 балл.
Алгебраические преобразования, не поведшие к решению — 0 баллов.
Положительные числа a, b и c таковы, что выполнены равенства Найдите a + b + c.
Отложим из одной точки T отрезки TA, TB и TC с длинами a, b и c соответственно так, чтобы
Тогда по теореме косинусов, при учете соотношения получаем, что Видим, что по теореме Пифагора треугольник ABC прямоугольный причем его катет AB в два раза короче гипотенузы AC, откуда следуют равенства и Отметим точку B1 — середину гипотенузы AC и такую точку C1, что треугольники ABC и AB1C1 равны и точки C1 и B по разные стороны и Последнее равенство обусловлено тем, что треугольник ATT1 получается равносторонним, поскольку точки T и T1 отличаются поворотом на 60° с центром в точке A.
Осталось заметить, что точки B, T, T1 и C1 лежат на одной прямой, поскольку
и В итоге получаем, что
a BC1 может быть вычислено из теоремы косинусов для треугольника BAC1:
Ответ:
Приведем другое решение.
Получим ответ алгебраическими методами. Вычтем из первого равенства второе. Получим
то есть
Аналогично, вычитая из второго равенства третье и из третьего первое, получим
Если обозначить то можно переписать предыдущие соотношения как и
Теперь сложим все исходные равенства:
Нетрудно видеть, что левую часть можно выразить следующим образом:
что означает
Домножением на получаем квадратное уравнение относительно s2: корнями которого являются и Однако первое из значений явно вступает в противоречие с равенством (1):
Значит, остается то есть
Из ниже перечисленного списка используется один наибольший подходящий критерий.
Любое верное решение задачи — 7 баллов.
Верное в остальном решение с неправильным ответом, полученным в результате арифметической ошибки — 6 баллов.
Получено несколько ответов и не исключены неверные — 6 баллов.
Произведен переход к геометрической задаче: рассмотрен треугольник со сторонами 1, 2 и точка внутри него на расстояниях a, b, c от вершин — 3 балла.
Разности и выражены через — 2 балла.
Есть верный ответ — 1 балл.
Алгебраические преобразования, не поведшие к решению — 0 баллов.
Найдите все значения a, при каждом из которых сумма длин промежутков, составляющих множество (возможно пустое) решений неравенства 
меньше 2.
Неравенство равносильно такому
1) Если 
то получаем неравенство 
удовлетворяющее требованию задачи, 
отсюда 
2) Если же 
то получаем неравенство 
удовлетворяющее требованию задачи, когда
Ответ: 
Does there exist a positive integer a such that 
is a square number? Give an example of such a if it is the case.
Существует ли такое целое положительное число a, что является полным квадратом? Если существует, то приведите пример такого числа a.
We have:
Hence, if 
then the expression becomes a square number:
In particular 
Имеем:
Если то в этом выражении легко узнать полный квадрат
Поэтому ответ 
для автора подборки задач.
Ответ: да существует, например: 1989.
Найдите все тройки целых чисел 
которые удовлетворяют следующим условиям
Вычтем из первого второе уравнение и выделим полные квадраты:
Подставим 
в первое уравнение, получим, что 
т. е. 
Следовательно, 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите все тройки целых чисел которые удовлетворяют следующим условиям
Вычтем из первого второе уравнение и выделим полные квадраты:
Подставим в первое уравнение, получим, что 
т. е. 
Следовательно, 
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
1. Некоторые неотрицательные числа 
удовлетворяют равенству 
Докажите, что 
(Д.В. Горяшин)
Способ I. Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и выделим полный квадрат:
Следовательно,
Способ II. Числа a, b и c неотрицательны, поэтому исходное равенство можно рассматривать как квадратное уравнение относительно 
По условию это уравнение имеет хотя бы одно решение, а значит, 
Способ III. Если 
то 
и неравенство выполнено. Пусть 
В силу неравенства о средних имеем 
Тогда по условию 
откуда, разделив на 
и возведя в квадрат, получаем требуемое неравенство.
Способ IV. По неравенству о средних
откуда
Решите неравенство:
Решим неравенство:
Ответ: 
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи |
| 12 | Задача доведена до ответа, решение содержит арифметическую ошибку |
| 0 | Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям |
Решите систему уравнений
В ответ запишите 
где 
— решение системы.
Заметим, что левая часть первого уравнения системы является полным квадратом, следовательно, уравнение примет вид
Получаем систему линейных уравнений
Ответ: 119.
Решите уравнение
Перепишем уравнение в виде:
Значит, либо 
либо
Из первого уравнения 
и при этом значении знаменатели второго уравнения не равны 0, т. е. 
— корень. Из второго уравнения следует:
т. е. 
При x = 1 знаменатель первой дроби обращается в нуль, значит, x = 1 не является корнем. При x = −1 оба знаменателя отличны от нуля.
Ответ: 
Наверх