Пре­об­ра­зу­ем наше урав­не­ние к виду

По­лу­ча­ем

или

По­лу­ча­ем че­ты­ре воз­мож­ных ва­ри­ан­та:

На­хо­дим x и y:

Ми­ни­маль­ное зна­че­ние

Ответ:

Най­дем ОДЗ:

На ОДЗ

По­лу­чи­ли:

Ответ:

Вы делим пол­ный квад­рат в под­ко­рен­ном вы­ра­же­нии

Ко­рень опус­ка­ет­ся без мо­ду­ля в виду того, что в ОД3 По­это­му

Опять вы­де­ля­ем пол­ный квад­рат

Так как и в ОДЗ то

К тому же мы знаем, что по­это­му воз­ве­де­ние в квад­рат будет рав­но­силь­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ем

Ответ:

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

По­лу­ча­ем

или

от­сю­да

сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

По­лу­ча­ем

или

от­сю­да

сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Най­дем ОДЗ:

Окон­ча­тель­но, оно равно Тогда на ОДЗ:

Тогда зна­ме­на­тель равен

и не­ра­вен­ство при­мет вид:

Итого,

Ответ: 29.

За­ме­тим, что левая часть урав­не­ния пред­став­ля­ем из себя сумму двух квад­ра­тов, до­ба­вим и от­ни­мем удво­ен­ное про­из­ве­де­ние и свер­нем сла­га­е­мые по фор­му­ле квад­рат раз­но­сти:

де­ла­ем за­ме­ну ре­ша­ем по­лу­чен­ное урав­не­ние, по­лу­ча­ем, что или Пер­вое урав­не­ние кор­ней не имеет, корни вто­ро­го Наи­боль­ший ко­рень

Ответ: {3}.

Пе­ре­пи­шем си­сте­му в виде

Пер­вое урав­не­ние си­сте­мы  — урав­не­ние па­ра­бо­лы с вер­ши­ной (−3; 2). Гра­фик вто­ро­го урав­не­ния  — смещённый гра­фик функ­ции вер­ши­на ко­то­ро­го пе­ре­ме­ща­ет­ся в за­ви­си­мо­сти от па­ра­мет­ра вдоль го­ри­зон­таль­ной пря­мой

На ри­сун­ке гра­фик функ­ции изоб­ражён в пре­дель­ных слу­ча­ях, со­от­вет­ству­ю­щих трём раз­лич­ным ре­ше­ни­ям си­сте­мы: (1)  — левая ветвь гра­фи­ка мо­ду­ля ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы; (2)  — вер­ши­ны гра­фи­ков сов­па­да­ют; (3)  — пра­вая ветвь мо­ду­ля ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы. Если вер­ши­на гра­фи­ка мо­ду­ля рас­по­ло­же­на между точ­ка­ми, со­от­вет­ству­ю­щи­ми слу­ча­ям (1) и (2) или (2) и (3), то гра­фи­ки будут иметь че­ты­ре точки пе­ре­се­че­ния и, сле­до­ва­тель­но, си­сте­ма будет иметь че­ты­ре ре­ше­ния.

В слу­чае (2) Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра, со­от­вет­ству­ю­щие слу­ча­ям (1) и (3).

Для слу­чая (1) по­лу­чим урав­не­ние

При ка­са­нии гра­фи­ков дис­кри­ми­нант этого урав­не­ния дол­жен быть равен нулю, при пе­ре­се­че­нии в двух точ­ках боль­ше нуля. Зна­чит,

тогда Вы­ра­зим корни через па­ра­метр для по­ло­жи­тель­но­го дис­кри­ми­нан­та:

Для слу­чая (3) по­лу­чим урав­не­ние:

где

тогда

Таким об­ра­зом, си­сте­ма имеет 4 ре­ше­ния при

Ответ: при по­лу­ча­ем и

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть не­ра­вен­ства, по­лу­чим

За­ме­тим, что если сде­лать за­ме­ну и то ис­ход­ное не­ра­вен­ство при­мет вид: что верно при любых зна­че­ни­ях a и b. До­ка­жем, это. Воз­ве­дем обе части не­ра­вен­ства в квад­рат, по­лу­чим:

что верно для любых зна­че­ний a и b. Сле­до­ва­тель­но, ис­ход­ное не­ра­вен­ство верно на ОДЗ:

По­лу­ча­ем ответ:

Ответ:

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую и левую части не­ра­вен­ства:

От­ме­тим, что ОДЗ не­ра­вен­ства есть все дей­стви­тель­ные числа. Пе­ре­пи­сав левую часть не­ра­вен­ства в виде

за­ме­ча­ем, что она не мень­ше 4, как удво­ен­ная сумма двух вза­им­но об­рат­ных по­ло­жи­тель­ных ве­ли­чин, и толь­ко при

она равна 4.

В то же время пра­вая часть не­ра­вен­ства

Сле­до­ва­тель­но, не­ра­вен­ство рав­но­силь­но си­сте­ме урав­не­ний:

Ответ: {−0,5}.

До­ка­жем, что для любых по­ло­жи­тель­ных чисел a и b спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство:

Рас­крыв скоб­ки, по­лу­ча­ем: учи­ты­вая, что числа по­ло­жи­тель­ные

По­сколь­ку на ОДЗ урав­не­ния имеем и при­ме­няя до­ка­зан­ное не­ра­вен­ство по­лу­ча­ем, что для лю­бо­го x левая часть не­ра­вен­ства не мень­ше 4. В то же время пра­вая часть не­ра­вен­ства

Сле­до­ва­тель­но, не­ра­вен­ство рав­но­силь­но си­сте­ме урав­не­ний:

Из вто­ро­го урав­не­ния на­хо­дим, что под­став­ля­ем в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы, по­лу­ча­ем, что его ре­ше­ние, сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ние ис­ход­но­го не­ра­вен­ства.

Ответ:

До­ка­жем, что для любых по­ло­жи­тель­ных чисел a и b спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство:

Рас­крыв скоб­ки, по­лу­ча­ем: учи­ты­вая, что числа по­ло­жи­тель­ные

По­сколь­ку на ОД3 урав­не­ния имеем и при­ме­няя до­ка­зан­ное не­ра­вен­ство по­лу­ча­ем, что для лю­бо­го x левая часть не­ра­вен­ства не мень­ше 4.

В то же время пра­вая часть не­ра­вен­ства

Сле­до­ва­тель­но, не­ра­вен­ство рав­но­силь­но си­сте­ме урав­не­ний:

Из вто­ро­го урав­не­ния на­хо­дим, что под­став­ля­ем в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы, по­лу­ча­ем, что его ре­ше­ние, сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ние ис­ход­но­го не­ра­вен­ства.

Ответ: {−1}.

За­ме­тим, что ОДЗ не­ра­вен­ства есть все дей­стви­тель­ные числа. Пе­ре­пи­сав левую часть не­ра­вен­ства в виде

видим, что она не мень­ше 4, как удво­ен­ная сумма двух вза­им­но об­рат­ных по­ло­жи­тель­ных ве­ли­чин, и толь­ко при она равна 4. В то же время пра­вая часть не­ра­вен­ства

Сле­до­ва­тель­но, не­ра­вен­ство рав­но­силь­но си­сте­ме урав­не­ний:

Ответ: {−0,5}.

Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде

За­ме­тим, что

зна­чит, урав­не­ние рав­но­силь­но со­во­куп­но­сти

Ответ:

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное не­ра­вен­ство:

По­сколь­ку нужно найти це­ло­чис­лен­ные ре­ше­ния не­ра­вен­ства, то воз­мож­ны толь­ко два слу­чая

 

Ответ: (6; 2 7), (20; 0; 19).

На­хо­дим ОДЗ:

1)  при не­ра­вен­ство ре­ше­ний не имеет;

2)  при воз­во­дим в квад­рат обе части не­ра­вен­ства:

Сде­ла­ем за­ме­ну При­хо­дим к не­ра­вен­ству

После об­рат­ной за­ме­ны имеем

Ответ:

Пе­ре­груп­пи­ру­ем сла­га­е­мые в зна­ме­на­те­ле:

най­дем нули чис­ли­те­ля и до­мно­жим дробь на по­ло­жи­тель­ную ве­ли­чи­ну,  — по­лу­чим

Ответ:

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное вы­ра­же­ние:

По­сколь­ку то

для любых зна­че­ний x и y, то

и не­ра­вен­ство

спра­вед­ли­во толь­ко для тех x и y, для ко­то­рых

Ответ:

Сло­жим эти урав­не­ния и со­бе­рем пол­ные квад­ра­ты:

Оче­вид­но, что толь­ко при и квад­ра­ты при­ни­ма­ют свои наи­мень­шие зна­че­ния, рав­ные нулю. Под­ста­нов­кой най­ден­ных зна­че­ний пе­ре­мен­ных в ис­ход­ную си­сте­му убеж­да­ем­ся, что они удо­вле­тво­ря­ют обоим ра­вен­ствам.

Ответ:

Сло­жим пер­вое урав­не­ние, умно­жен­ное на 3, и вто­рое. По­лу­чим,

после де­ле­ния на 10 и пре­об­ра­зо­ва­ний,

Сумма двух квад­ра­тов может рав­нять­ся нулю толь­ко в слу­чае, когда каж­дый из этих квад­ра­тов равен нулю. По­это­му, ни­че­го кроме и не может яв­лять­ся ре­ше­ни­ем нашей си­сте­мы. Для окон­ча­ния ре­ше­ния не­об­хо­ди­мо про­ве­рить, что най­ден­ные числа под­хо­дят:

Ответ:

Ком­мен­та­рий.

До­ста­точ­но про­ве­рить, что най­ден­ные числа под­хо­дят хотя бы в одно из урав­не­ний.