Всего: 75 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–75
Добавить в вариант
Решить уравнение
Левую часть уравнения можно представить в виде разности квадратов:
Далее рассматриваем два случая.
Случай «+»:
Случай «–»:
Отберем корни, удовлетворяющие условию 
в серии (1): 
Поскольку равенство выполняется при
то решения уравнения, описываемые серией (1), будут 
Отберем теперь корни, удовлетворяющие условию в серии (2): 
Здесь равенство выполняется при
Тогда решения уравнения, описываемые серией (2), будут 
Совокупность всех отобранных корней является решением уравнения.
Ответ: 
1. Представил левую часть как разность квадратов или сделал какие-нибудь конструктивные преобразования левой части — 0,5 балла.
2. Разложил левую часть на множители и нашел часть корней или показал их отсутствие для одного из множителей — 1 балл.
3. Верно нашел все нули числителя, но не произвел отбор корней — 1,5 балла.
4. Полностью верное решение — 2 балла.
Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
Введем переменные 
Тогда уравнение примет вид:
Выполним следующие преобразования:
Отсюда получаем:
или
Переходя к переменным (x; y), имеем:
Решая эту систему, находим:
Ответ: x = 19, y = 40.
1. Предпринята попытка введения параметров, но окончательного решения не получено — 0,5 балла.
2. Решение недостаточно обоснован — 1,5 балла.
3. Арифметическая ошибка — 1,5 балла.
4. Решена верно — 2 балла.
Solve the following system of inequalities: 
Решить систему неравенств:
In the first inequality group up the full squares:
Next, assume 
Hence, 
and 
In the coordinate system relative to u, υ the first inequality is a half-plane inside an ellipse, the second inequality forms a half-plane above the line 
Prove that these half-planes do not coincide. Lets solve the system of equations:
Substituting the first into second yields 
Its discriminant
therefore the system has no real solutions, the initial assumption was incorrect, hence the line and the ellipse do not have any common points. These two half-planes are neither enclosed nor touching, therefore the given system has no real solutions for u, υ, and so for x, y.
Выделим в первом неравенстве полные квадраты:
Предположим 
и 
Тогда и В координатной системе относительной u, υ первое неравенство можно изобразить в виде области внутри эллипса. Второе неравенство образует полуплоскость над пря мой 
Докажем, что эти две полуплоскости не имеют общих точек. Решим систему уравнений:
При подставлении первого во второе получаем Его дискриминант
следовательно, система не имеет действительных решений, предположение неверно, поэтому прямая и эллипс не имеют общих точек. Поэтому система неравенств не имеет действительных решений для u, υ, а следовательно, и для x, y.
Ответ: нет решений.
Найти решение уравнения в целых числах:
Избавляемся от иррациональности:
Перебором устанавливаем, что целые решения получаем при
Ответ: (5, −3), (10, 0), (0, 0), (5, 3).
1. Задача решена и дано полное объяснение — 10 баллов.
2. Задача сведена к анализу интервалов изменения переменных x и y, но допущена ошибка при переборе возможных вариантов пар (x, y) — 7 баллов.
3. Допущены арифметические ошибки при преобразованиях с радикалами — 
балла.
4. Задача не решена (или не решалась) или дан ответ без объяснений — 0 баллов.
Решить уравнение 
Имеем:
Введем замену 
Получим уравнение
1) если y = −4, то:
2) если y = 2, то:
Ответ: 
Найдите пару натуральных чисел x и a, удовлетворяющих условию 
В ответ выпишите их сумму.
Имеем:
Так как 
то решения последнего уравнения будем искать, как решения соответствующих систем уравнений (достаточно рассмотреть лишь произведение двух чётных целых чисел):
Решением данных систем, а значит и соответствующего уравнения будут пары (a; x): (6; 3); (6; −5); (−6; −5); (−6; 3). Пара натуральных чисел x и a, удовлетворяющих условию (6; 3).
Ответ: 9.
Найти наименьшее значение выражения
В ответ запишите квадрат этого значения.
Заметим, что
Первое слагаемое последнего выражения есть расстояние от точки 
до точки 
второе слагаемое — расстояние от точки до точки 
причем точки B и C лежат по разные стороны от оси OX. Таким образом, последнее выражение есть сумма расстояний AB + AC и 
Эта сумма расстояний принимает наименьшее значение, равное длине BC, только тогда, когда точка будет лежать на отрезке BC, 
Получаем ответ: 
Ответ: 1156.
Найдите максимальное значение величины 
если известно, что
Введем де картову систему координат и рассмотрим произвольный ве ктор а с координатами (x, y, z) и фиксированный 
Оценивая скалярное произведение через длины сомножителей, получаем
Как известно, равенство возможно, и достигается при векторах, лежащих на одной прямой. Поэтому максимальное значение будет достигаться, например, при a = c. Подставляя значения, получаем 
Ответ: 74.
Приведём другое решение.
Преобразуем условие, выделив полные квадраты.
Таким образом, точки заданного множества лежат на сфере с центром в точке 
Точки с фиксированным значением величины 
также лежат на сфере (с центром в начале координат), поэтому искомая точка будет точкой касания полученной сферы внутренним образом со сферой 
Эта точка касания, в свою очередь, лежит на диаметре, соединяющем центры сфер, поэтому остается подставить 
в условие:
откуда x = 0 или x = 3.
Первое значение дает нулевую сумму квадратов. Для второго значения получается
откуда
При каких значениях параметров a и b уравнение
имеет единственное решение.
Обозначим
имеет единственное решение?» Это уравнение имеет единственное решение только при 
(это очевидно следует из свойств графика функции 
). Тогда переходим к решению системы 
Так как 
а 
то последнее равенство возможно только при выполнении следующих условий
Вернемся к исходной системе. Решение уравнения 
даёт 
или 
Ответ: 
или 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 1–2 | Верный ответ приведен без обоснования или построен на некорректных основаниях |
| 3–5 | Верно выполнен чертеж, раскрывающий идею решения задачи, но при этом решение не получено |
| 6–10 | Решение получено, но сделаны существенные ошибки, или в решении имеются существенные пробелы |
| 11–14 | Приведено решение, имеющее пробелы или неточности, или в результате арифметической ошибки получен неверный ответ |
| 15 | Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ |
или При каких значениях параметров a и b уравнение
имеет единственное решение?
Обозначим
имеет единственное решение?» Это уравнение имеет единственное решение только при (это очевидно следует из свойств графика функции ). Тогда переходим к решению системы 
Так как 
а 
то последнее равенство возможно только при выполнении следующих условий
Вернемся к исходной системе. Решение уравнения 
даёт или 
Ответ: или 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 1–2 | Верный ответ приведен без обоснования или построен на некорректных основаниях |
| 3–5 | Верно выполнен чертеж, раскрывающий идею решения задачи, но при этом решение не получено |
| 6–10 | Решение получено, но сделаны существенные ошибки, или в решении имеются существенные пробелы |
| 11–14 | Приведено решение, имеющее пробелы или неточности, или в результате арифметической ошибки получен неверный ответ |
| 15 | Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ |
или Решить систему уравнений
Преобразуем левую часть первого уравнения:
Пусть 
есть расстояние между точками 
и 
и 
—
и 
Тогда расстояние между точками 
и 
:
Таким образом, первое уравнение можно интерпретировать как 
что дает нам право утверждать, что точка 
причем 
Составим уравнение прямой AB, проходящей через две точки и 
Вернемся к исходной системе:
Ответ: (1; −0,2).
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 0 | Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась, или приведен верный ответ без обоснования |
| 1-3 | Задача не решена, но рассмотрены отдельные важные случаи и отсутствии решения (или при ошибочном решении) |
| 5-8 | Задача решена «наполовину», т.е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей |
| 9-11 | Задача решена в целом правильно и получен верный ответ, но есть мелкие замечания к решению (в решении допускаются незначительные неточности; имеются недостатки, которые легко устраняются) |
| 13 | Задача решена правильно, ход решения правильный и обоснованный |
Решить систему уравнений
Преобразуем левую часть первого уравнения::
Пусть 
есть расстояние между точками и 
и — и Тогда расстояние между точками 
и
что дает нам право утверждать, что точка 
причем 
Составим уравнение прямой AB, проходящей через две точки и 
Вернемся к исходной системе:
Ответ: (1,75; 4).
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 0 | Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась, или приведен верный ответ без обоснования |
| 1-3 | Задача не решена, но рассмотрены отдельные важные случаи и отсутствии решения (или при ошибочном решении) |
| 5-8 | Задача решена «наполовину», т.е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей |
| 9-11 | Задача решена в целом правильно и получен верный ответ, но есть мелкие замечания к решению (в решении допускаются незначительные неточности; имеются недостатки, которые легко устраняются) |
| 13 | Задача решена правильно, ход решения правильный и обоснованный |
Окружность радиуса r с центром в точке (p; q) на координатной плоскости пересекает параболу 
в четырех различных точках. Докажите, что через те же точки проходит еще одна пара-бола. Составьте её уравнение.
Если точка лежит на данной окружности и на данной параболе, то
При 
:
Это и есть искомое уравнение параболы, на которой лежат данные в условии задачи точки.
Ответ: 
Решите уравнение 
Преобразуем уравнение к виду 
После выделения полного квадрата и разложения на множители получаем уравнение
Решая полученные уравнения, находим: x = −6, x = 0.
Ответ: −6; 0.
Решите уравнение 
Преобразуем уравнение к виду 
После выделения полного квадрата и разложения на множители получаем уравнение
Решая полученные уравнения, находим: x = −5, x = 0.
Ответ: −5; 0.
Наверх