РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 8 9
Атрибут

Всего: 118 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Добавить в вариант

Тип 0 № 2046 Добавить в вариант

На плоскости отмечены пять точек, любые три из которых образуют треугольник площади не меньше 2. Докажите, что найдутся 3 точки, образующие треугольник площади не меньше 3.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2054 Добавить в вариант

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2095 Добавить в вариант

Внутри угла раствора 30° с вершиной A выбрана точка K, расстояния от которой до сторон угла равны 1 и 2. Через точку К проводятся всевозможные прямые, пересекающие стороны угла. Найдите минимальный периметр треугольника, отсекаемого прямой от угла.

Решение.

Проведем такую окружность ω, касающуюся сторон угла в точках M и N, что K лежит на малой дуге $M N$ (см. верхний рисунок). Обозначим через p периметр треугольника, отсекаемого от угла касательной к $\omega$ в точке K. Тогда

$p=A P плюс P K плюс K Q плюс A Q=A P плюс P M плюс Q N плюс A Q=A M плюс A N=2 умножить на A N$

Заметим, что в этом рассуждении можно заменить K любой другой точкой, лежащей на малой дуге MN.

Покажем, что периметр p будет минимальным. Пусть ℓ — секущая к ω, проходящая через точку K. Проведем параллельно ей прямую ℓ₁, касающуюся малой дуги MN. Прямые ℓ и ℓ₁ отсекают от угла подобные треугольники. Прямая ℓ₁ дает меньший треугольник, периметр которого равен p. Значит, на ℓ минимум не реализуется.

Пусть T и S  — проекции точки K на стороны угла, где $K T=2$ и $K S=1.$ Построим окружность ω. Обозначим через O точку пересечения биссектрисы угла с прямой, проходящей через K пар аллельно AT (см. нижний рисунок). Пусть M и N  — проекции точки O на лучи AS и AT, L  — проекция K на OM. Тогда $O M=O N=K T=2,$

$L O=O M минус L M=O M минус K S=1,$

и $O K=2,$ поскольку $\angle L K O=\angle M A N=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Значит, O  — центр искомой окружности ω. По доказанному выше

$p=2 умножить на A N=2 умножить на O N умножить на \ctg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =4 умножить на дробь: числитель: 1 плюс косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =4 левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка .$

Ответ: $4 левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка .$

Решение · Помощь

Тип 0 № 2144 Добавить в вариант

При благоустройстве городского сада «Пифагор» сначала были проложены три аллеи, образующие прямоугольный треугольник с острым углом $альфа .$ Следующие аллеи проложили как внешние квадраты на сторонах этого треугольника (получилась фигура, иллюстрирующая теорему Пифагора и называемая пифагоровыми штанами). Наконец, на третьем этапе соединили прямолинейными аллеями центр наибольшего квадрата с вершиной прямого угла, а центры двух меньших квадратов друг с другом. Определите, какая из аллей третьего этапа имеет большую длину? При каком значении угла $альфа$ их длины различаются сильнее всего?

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2206 Добавить в вариант

На стороне AB треугольника ABC взята точка M. Она начинает двигаться параллельно BC до пересечения с AC, затем она движется параллельно AB до пересечения с BC и так далее. Верно ли, что через некоторое число таких шагов точка M вернется в исходное положение? Если это верно, то каково минимальное число шагов, достаточное для возврата?

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2214 Добавить в вариант

Транспортная компания «Пианогруз» специализируются на перевозке тяжелых музыкальных инструментов. После того, как в автомашине компании были оборудованы места для грузчиков, остался грузовой отсек в форме квадрата со стороной 3 м. Изобразите в координатах «длина − ширина» множество всех точек, которые могут задавать размеры прямоугольного инструмента, помещающегося в грузовой отсек. Считайте, что оборудование кузова позволяет закрепить инструмент в любом положении, а ограничения по высоте отсутствуют.

Решение.

1)  Поскольку наклоненный (поставленный на ребро) инструмент в проекции на дно отсека образует прямоугольник, то достаточно рассмотреть плоскую задачу о прямоугольнике внутри квадрата. Пусть длина инструмента равна l, ширина h. Обозначим длину стороны квадратного кузова a.

Сначала рассмотрим очевидный случай, когда инструмент помещается вдоль (или, что то же, поперек) кузова. В этом случае $l меньше или равно a$ и $h меньше или равно a .$

2)  Теперь рассмотрим ситуацию, когда $l больше a.$

2a) Пусть длинная сторона инструмента (прямоугольника) KLMN параллельна диагонали квадрата (см. рис. 2а) Поскольку $\angle M A O=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ а MN перпендикулярна AC, то $\triangle M A O$   — равнобедренный и $M O=O A.$ Из аналогичных рассуждений для $\triangle C L K$ и равенства этих треугольников друг другу следует, что $L M плюс M N=A C .$

Таким образом, при KN параллельной AC стороны любого вписанного в квадрат прямоугольника должны удовлетворять соотношению $l плюс h=a корень из 2 .$

2б) Пусть теперь стороны прямоугольника KLMN не параллельны диагоналям квадрата (см. рис. 26).

Пусть $\angle N K B= альфа .$ Тогда

$\angle K L C=\angle M N A= альфа$

(как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Следовательно, прямоугольные треугольники NKB, KLC подобны, а $\triangle K L C=\triangle M N A$ (по гипотенузе и острому углу).

Пусть коэффициент подобия $\triangle N K B$ и $\triangle K L C$ равен k. Если обозначить через u и w стороны MA и AN, то

$A B=a=w плюс k u ,$

$C B=a=u плюс k w,$

откуда

$левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка w= левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка u.$

Если $k не равно q 1,$ то сокращая, получаем $w=u,$ т. е. треугольники MAN и LCK равнобедренные. Если же $k=1,$ то указанные треугольники равнобедренны по построению. Следовательно, стороны LM и KN параллельнs диагонали AC.

Таким образом, доказано, что все четыре вершины вписанного в квадрат прямоугольника лежат на сторонах квадрата тогда и только тогда, когда стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата.

3.  Зафиксируем длину стороны l и выясним, какое максимальное значение может принимать ширина h при различных положениях прямоугольника. Для этого будем мысленно вращать его, начиная с положения, параллельного диагонали. На рис 3 отмечено, как будут двигаться его вершины.

Введем оси координат Cx, Cy показано на рисунке. Рассмотрим диагональ LN. Квадрат ee длины можно найти из прямоугольного треугольника (пунктирного), один катет которого равен a, другой равен разности ординат точек L и N, которая при вращении прямоугольника у уменьшается.

Таким образом, диагональ LN будет уменьшаться, и, следовательно, будет уменьшаться ширина h. Поэтому максимальная ширина соответствует исходному положению, при котором $l плюс h=a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Остается изобразить в координатных осях $l минус h$ треугольник, отсекаемый в первой четверти прямой $h меньше или равно a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус l,$ и совместить два полученных множества.

Ответ: искомое множество точек показано ниже вертикальной штриховкой.

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2223 Добавить в вариант

Господин Бур Жуй, большой поклонник фэн-шуй, получил в наследство дом, представляющий собой в плане прямоугольный треугольник с катетами a и b. К каждой стороне треугольника он пристроил квадратные веранды. Те 6 вершин этих трех квадратов которые не совпадают с вершинами треугольника, образуют шестиугольник. В этот шестиугольник и был в итоге превращен дом, который построил господин Бур Жуй. Найдите его площадь. При каком соотношении катетов a и b отношение площади нового дома к площади исходного будет минимальным?

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2236 Добавить в вариант

Окружность единичного радиуса поделили на $2 в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка$ равных частей. Докажите, что расстояние от центра окружности до хорды, стягивающей одну такую часть, составляет ровно половину от величины

$\underbrace корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс ... плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента конец аргумента _2018 двоек.$

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2242 Добавить в вариант

Два пловца проводят тренировки на карьере прямоугольной формы. Первому удобнее выходить на угол карьера, поэтому он проплывает по диагонали до противоположного угла и обратно. Второму пловцу удобнее начинать из точки, которая делит один из берегов карьера в отношении $2018 : 2019.$ Он проплывает о четырехугольнику, посещая по одной точке на каждом берегу, и возвращается к месту старта. Может ли второй пловец так выбрать точки на трех других берегах, чтобы его путь был короче, чем у первого? Какое минимальное значение может иметь отношение длины большего пути к меньшему?

Решение.

Изобразим прямоугольный карьер ADCD и вписанный в него четырехугольный маршрут второго пловца NLMK.

Отразим симметрично чертеж сначала относительно стороны CD, затем относительно стороны $C B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ наконец, относительно стороны $A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$

По построению отрезки ND и $N в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ равны и параллельны друг другу. Следовательно, $A A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка N в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка N$   — параллелограмм, и его сторона $N N в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ равна удвоенной диагонали исходного прямоугольника AC (т. е. длине пути первого пловца).

Ясно, что сумма длин отрезков NK, $K M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ $M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка L в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и $L в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка N в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ равна периметру четырехугольника NLMK (т. е. длине пути второго пловца).

Но длина ломаной $N K M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка L в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка N в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ не меньше длины отрезка $N N в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ являющегося кратчайшим расстоянием между точками N и $N в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Отсюда следует, что путь второго пловца не может быть меньше (короче) пути первого.

Пути можно сделать равными, если перенести (пользуясь симметрией построения) точки пересечения отрезка $N N в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ со сторонами DC, $C B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и $B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка A в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ на исходный прямоугольник. (Можно показать, что получившаяся таким образом фигура будет параллелограммом, но это не входит в постановку задачи.)

При таком построении пути пловцов будут равны и их отношение будет равно 1.

Заметим, что в рассуждениях нигде не использовано то, в какой пропорции исходная точка N делит соответствующую сторону прямоугольника AD.

Ответ: путь второго пловца не может быть короче, чем у первого; минимальное отношение длины большего пути к меньшему равно 1.

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2292 Добавить в вариант

В царстве Колдовской Энергии на плоской равнине стоит заколдованная трансформаторная будка: наблюдателю, смотрящему параллельно земле, она видна только под углом 45°. В поперечном сечении будка квадратная со стороной L локтей. Опишите геометрическое место точек на равнине, из которых будка видна, и определите минимальное и максимальное расстояние, с которого видна заколдованная будка. Углом, под которым фигура F видна из точки P, называется наименьший угол с вершиной P, содержащий фигуру F. В данном случае этот угол расположен в плоскости поперечного сечения будки.

Решение.

Как известно, любой вписанный в окружность угол вдвое меньше центрального угла, стягивающего ту же дугу.

Поэтому произвольной отрезок AB будет виден под углом 45°, если вершин а этого угла $Q_i$ расположена н а окружности с центром в вершине прямоугольного равнобедренного треугольника O, гипотенуза которого совпадает с заданным отрезком AB (см. верх. рис).

Применим установленный факт для рассматривания квадрата. Ясно, что существуют точки, из которых будет видна только одна сторона квадрата, и точки, из которых будут видны две смежные стороны. Другие ситуации невозможны.

В первом случае в качестве отрезка AB будет выступать сторона квадрата. Центр дуги окружности, являющейся искомым г. м. т., будет лежать в вершине (прямом угле) равнобедренного прямоугольного треугольника, пост роенного на этой стороне (см. верх. рис.). Максимальное расстояние от этой дуги до стороны квадрата от мечено на рисунке пунктиром. Оно равно

$O H плюс O F= дробь: числитель: L, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: L, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби L.$

Во втором случае в качестве от резка AB будет выступать диагональ квадрата. Центр дуги окружности, являющейся искомым г. м. т., будет лежать в вершине исходного квадрата, в которой сходятся видимые стороны. Расстояние от любой точки этой дуги до вершины квадрата равно L. Это будет минимальное из искомых расстояний. Все вместе даст восемь четверть окружностей, изображённых ниже.

Ответ: искомые дуги окружностей изображены на нижем рисунке сплошной линией. Пунктиром отмечены прямые, разделяющие восемь зон $левая круглая скобка \rho_\min =L,$ $\rho_\max = дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби L правая круглая скобка .$

Решение · Помощь

Тип 0 № 2334 Добавить в вариант

В Царстве Колдовской Энергии на плоской равнине стоит заколдованная трансформаторная будка: наблюдателю, смотрящему параллельно земле, она видна только под углом 90°. В поперечном сечении будка квадратная со стороной L локтей. Опишите геометрическое место точек на равнине, из которых будка видна, и определите минимальное и максимальное расстояние, с которого видна заколдованная будка. Углом, под которым фигура F видна из точки P, называется наименьший угол с вершиной P, содержащий фигуру F. В данном случае этот угол расположен в плоскости поперечного сечения будки.

Решение · Помощь

Тип 0 № 2736 Добавить в вариант

Три пиццы диаметром 4 дециметра каждая упакованы в треугольную коробку. Найти наименьшую площадь коробки, если пиццы попарно соприкасаются, но не перекрывают друг друга.

Решение · Помощь

Тип 0 № 2988 Добавить в вариант

Сколько треугольников с целыми сторонами имеют периметр, равный 2017? (Треугольники, отличающиеся только порядком сторон  — например, 17, 1000, 1000 и 1000, 1000, 17  — считаются за один треугольник.)

Решение · Помощь

Тип 0 № 2993 Добавить в вариант

В прямоугольном треугольнике ABC: $\angleABC=90 градусов,$ AC  =  6, BC  =  4. На прямой BC отмечается такая точка D (CD > BD), что $\angleADC=45 градусов.$ На прямой AD отмечается такая точка E, что периметр треугольника CBE  — наименьший из возможных. Затем, на прямой DС отмечается такая точка F, что периметр треугольника AFE  — наименьший из возможных. Найти CF.

Баллы
20	Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи.
16	При верном и обоснованном ходе решения имеется арифметическая ошибка или решение недостаточно обосновано.
12	При верном ответе нет доказательства минимальности периметра.
4	Верно начато решение задачи, получены некоторые промежуточные результаты, дальнейшее решение неверно или отсутствует.
0	Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям.

Аналоги к заданию № 2993: 3004 Все

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 3004 Добавить в вариант

CAKD  — квадрат со стороной 6. На стороне CD выбирается точка B (BD  =  2), а на прямой AD  — такая точка E, что периметр треугольника BEC  — наименьший из возможных. Затем, на прямой DС отмечается такая точка F, что периметр треугольника FEA  — наименьший из возможных. Найти EF.

Баллы
20	Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи.
16	При верном и обоснованном ходе решения имеется арифметическая ошибка или решение недостаточно обосновано.
12	При верном ответе нет доказательства минимальности периметра.
4	Верно начато решение задачи, получены некоторые промежуточные результаты, дальнейшее решение неверно или отсутствует.
0	Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям.

Аналоги к заданию № 2993: 3004 Все

Решение · Прототип задания · Критерии · Помощь

Тип 0 № 3058 Добавить в вариант

На координатной плоскости изображен равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами в точках с целыми координатами. Известно, что на сторонах треугольника (включая вершины) находится ровно 2019 точек с целыми координатами. Какова наименьшая возможная длина гипотенузы треугольника при этих условиях? В ответе укажите длину гипотенузы, округленную до ближайшего целого числа.

Решение · Помощь

Тип 0 № 3075 Добавить в вариант

Моль проела в куре дырку в форме прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см. Найдите наименьший размер квадратной заплатки, которой можно закрыть эту дырку (заплатка закрывает дырку, если все точки прямоугольника лежат внутри квадрата или на его границе).

Решение · Помощь

Тип 0 № 3078 Добавить в вариант

Роща имеет форму круга радиуса 258 м. Расстояние между двумя деревьями в ней не меньше 12 м. Доказать, что в роще размещено не больше 2018 деревьев.

Решение · Помощь

Тип 11 № 3100 Добавить в вариант

Площадь сектора круга равна 100. При каком значении радиуса круга периметр этого сектора будет минимальным? Если ответ не целое число, то округлите до десятых.