Всего: 118 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–118
Добавить в вариант
то 
то все треугольники, удовлетворяющие условию задачи, равносторонние.На окружности отмечено 2017 различных точек A1, ..., A2017 и проведены все возможные хорды, попарно соединяющие эти точки. Через точку A1 проведена прямая, не проходящая ни через одну из точек A2, ..., A2017. Найдите наибольшее шее возможное количество хорд, которые могут иметь хотя бы одну общую точку с этой прямой.
Тогда 
хорд пересекают прямую и еще 2016 проходят через точку A1. Заметим, что 
а прямая через точку M(-1; 0).
и 
где 
следовательно, 
Прямая AB проходит через точку M, уравнение 
Выразим переменные a и b через параметр k, подставляя координаты точек A и B в уравнение прямой AB: 
то 
при 
В треугольнике АВС с основанием АС = 14 и боковыми сторонами АВ = 13 и ВС = 15 из центра вписанной окружности строится ломаная линия из трех звеньев так, что конечная ее точка — центр описанной около АВС окружности, а еще две точки М и К лежат на боковых сторонах треугольника АВС. Найдите площадь треугольника МВК, если длина этой ломаной линии наименьшая.
Пусть N — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с его основанием. Следовательно, 
где р полупериметр треугольника ABC, т. е. 
и 
Тогда O2R — серединный перпендикуляр к AC, поэтому 
и 
Тогда M — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с его стороной AB. Следовательно, 
(по свойству касательных), поэтому 
следовательно, 
a 
и 
а 
и 
Составим уравнение прямой O12O21: 
Найдем абсциссы точек Р и L: 
где 
Радиус вписанной в него окружности 
Вписанный в нее квадрат имеет диагональ, равную диаметру окружности, и, следовательно, его сторона 
а площадь 
Первый лагерь геологов представляет собой на земле участок площадью 1600 кв.м, состоит из трех прямоугольных частей различного назначения и имеет форму многоугольника ABCEFGHM (см. рис.). В многоугольнике ABCEFGHM:
м,
м,
м. Найти наименьшее значение периметра такого участника и какие-либо значения длин BK, KE и GH, при которых периметр полевого лагеря геологов является наименьшим.
м2,
и 
Тогда периметр 
и
то 
Таким образом, 
Поэтому, 
и, так как 
то есть 
поэтому наименьшее значение функции 
достигается при 
Следовательно, 
и 
То есть наименьшее значение периметра участка 
Первый лагерь геологов представляет собой на земле участок площадью 2100 кв. м, состоит из трех прямоугольных частей различного назначения и имеет форму многоугольника ABCEFGHM (см. рис.). В многоугольнике ABCEFGHM:
м, м
м.
м2, a его периметр равен периметру прямоугольника BCEK. Обозначим 
и 
то 
Таким образом, 
Поэтому, 
и, так как 
то есть 
поэтому наименьшее значение функции 
достигается при 
Следовательно, 
то есть 
То есть наименьшее значение периметра участка 
где 
Очевидно, против меньшей стороны 
лежит меньший угол в треугольнике, то есть этот угол меньше 
Покажем, что и против стороны a лежит угол α меньше 60°.
и 
Тогда 
что эквивалентно равенству 
Число 4 можно разложить четырьмя способами в произведение двух целых чисел: 
и 
Тогда уравнение можно записать в виде 
После выделения квадратного корня в левой части, возведения обеих частей в квадрат и деления уравнения на v, получим: 
то есть 
или 
Число 8 можно разложить четырьмя способами в произведение двух целых чисел: Дана прямая на плоскости и на ней отмечено несколько (больше двух) точек. Докажите, что можно отметить еще одну точку на плоскости (вне данной прямой) так, чтобы среди всех треугольников с отмеченными вершинами было больше половины остроугольных.
где [m] — целая часть числа m. Отметим точку B такую, что её проекция на прямую принадлежит интервалу 
и 
—
а углы при основании острые, поскольку вершина проектируется внутрь основания. Количество пар точек (Ai, Aj) для таких треугольников равно 
Так как всего треугольников 
то достаточно проверить неравенство 
имеем очевидное неравенство 
а при нечетном 
неравенство принимает вид 
Полевой лагерь геологов представляет собой участок площадью 1600 кв. м, состоящий из трех прямоугольных частей различного назначения и имеет форму многоугольника ABCEFGHM (см. рис.). В данном многоугольнике:
м, м, м.
м2,
Тогда периметр 
Поэтому, 
То есть наименьшее значение периметра участка 
Полевой лагерь геологов представляет собой участок площадью 2100 кв. м, состоящий из трех прямоугольных частей различного назначения и имеет форму многоугольника ABCEFGHM (см. рис.). В данном многоугольнике:
м,
м, м м.
м2,
или 
То есть наименьшее значение периметра участка 
и 
равно 
и достигается при 
то есть для равнобедренного прямоугольного треугольника.
будет соответствовать 17 баллам.Карлсон ест треугольный торт. Он режет торт по биссектрисе одного из углов, выбирает любую из двух получившихся частей и съедает её, а со второй повторяет ту же операцию. Если Карлсон съест больше половины торта, он станет не в меру упитанным мужчиной в самом расцвете сил. Докажите, что рано или поздно это произойдёт.
от площади всего торта.
-м
либо такого числа ℓ не существует.
Оценим площадь треугольника Sk сверху как половину произведения сторон: 
Но, поскольку 
отсюда следует, что 
то есть к Внутри выпуклого 200-угольника расположено n точек так, что никакие три из этих n + 200 точек не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники, вершинами каждого из которых являются 3 из данных n + 200 точек. При каком максимальном значении n не может получиться более 400 треугольников?
Из равнобедренного треугольника с углом 
при вершине и площадью 1 помещают в минимальный по площади круг, а его — в минимальный по площади треугольник, подобный исходному. Какое наибольшее и наименьшее значение принимает площадь 
полученного в итоге треугольнике при 
и r — радиус окружности. Тогда половины основания исходного и вырезанного треугольников соответственно равны 
Поэтому 
(по т. Пифагора), его периметр равен 
его периметр равен 
его периметр равен 
И т. д. 
то есть 
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 
Так как 
Сторона квадрата равна 1. Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с исходным, и т. д. Найти сумму периметров этих квадратов.
(по т. Пифагора), его периметр равен 
его периметр равен 
его периметр равен 
И т. д. 
