Всего: 118 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–118
Добавить в вариант
(т. Пифагора), его площадь равна 
его площадь равна 
его площадь равна 
его площадь равна 
И т. д. 
то есть 
Так как 
(т. Пифагора), его площадь равна 2. 
его площадь равна 
И т. д. 
где k1 — угловой коэффициент прямой, проходящей через точку B, а k2 — через точку A. Найдем эти значения: 
следовательно, 
следовательно, 
решения нет. Найдем решение при 
и 
Отложим точку C, симметричную точке A относительно прямой 
для этого из A опустим перпендикуляр на 
и на нем найдем точку C такую, что 
Проводя прямую через точки C и B, найдем ее пересечение с прямой 
а кратчайшее расстояние между точками — прямая. Найдем периметр этого треугольника: 
В прямоугольнике ABCD со сторонами AD = 8, AB = 4 расположены три круга K, K1 и K2. Круг K касается кругов K1, K2 внешним образом, а так же прямых AD и BC. Круги K1, K2 касаются так же сторон AD, AB и CD соответственно. Найти максимальное возможное значение суммы площадей трех кругов.
—
тогда
приходим к тому, что 
Свойства функции 
на отрезке 
на отрезке 
одинаковые и равны 
при 
При этих же условиях, минимальное значение 
и оно равно 
находим 
Фигура G на плоскости получена из квадрата со стороной a = 10, из которого вырезан прямоугольник с вершиной A, лежащей внутри квадрата, со сторонами b = 6 и c = 5 (см. рис). Найти наибольшую длину отрезка, содержащего точку A, который можно разместить в G.
из которого вырезан прямоугольник с вершиной A, лежащей внутри квадрата, со сторонами 
и 
изображена на рисунке. Рассмотрим все возможные расположения отрезка с концами на сторонах фигуры G, содержащего точку A.
a 
возрастает на указанном отрезке, поскольку знаменатель уменьшается с ростом α. Поэтому максимальное значение равно 
принадлежит отрезку 
—
Вычислим 
убывает на указанном отрезке. 
и 
Выбираем наибольшее из этих чисел. 
и 
соответственно и отрезков на сторонах квадрата. 
параллельные отрезки (рис. 3).
В треугольнике ABC, в котором сумма сторон AC и BC в
раз больше стороны AB, вписана окружность, касающаяся сторон BC, AC и AB в точках M, N и K соответственно. Отношение площади треугольника MNC к площади треугольника ABC равно r. Найдите при данных условиях:
а) наименьшее значение r;
б) все возможные значения r.
(знак равно достигается, только в случае 
то 
Из условия существования треугольника вытекают неравенства: 
и 
учитывая то, 
Функция 
монотонно убывает на (0; 1) и возрастает на 
Поскольку 
то 
б) 
биссектрисы BD и CE пересекаются в точке I. Найдите наименьший возможный радиус окружности, описанной около треугольника DEI, если сумма длин отрезков DI и EI равна 2d.
Из неравенства о среднем арифметическом и геометрическом, получаем: 
причём равенство достигается в случае 
Поэтому справедливо 
то, что xy стремится к нулю, понятно из того, что один из углов B либо C можно устремить к нулю. По теореме косинусов в треугольнике EID, получаем 
к его стороне. Найти максимальное возможное значение суммы длин отрезков этих прямых, принадлежащих прямоугольнику.
и 
На первом рисунке учитываем, что 
На нем проведены отрезки AM и CN под углом α1 к стороне AD. Значение α1 определяется условием того, что расстояние между прямыми AM и CN равно h: 
и 
длин отрезков PQ и RS равно 
потому, что расстояние между прямыми AM и CN не меньше h и на отрезке MC можно разместить точки P и T прямых L1 и L2 (рис. 2).
соответствует минимальному углу, то есть 
определяемому 
оно равно нулю (рис. 3).
то в формулах (*) и (**) надо поменять буквы местами.
и 
имеет вид: 
и 
для выяснения в каком из интервалов 
или 
находится заданное α: 
который образуют прямые с большей стороной. Поскольку 
ответом является L2.
В треугольнике ABC сумма квадратов длин сторон AB и BC должна быть максимально возможной, при условии, что вершины A, C, D и E фиксированы. Угол γ при вершине B тупой, 
и
Тогда
Аналогично, 
и 
Для многоугольника с наибольшим периметром сторона 
Тогда 
и периметр многоугольника 
На плоскости расположены 8 прямых, из которых 3 параллельны, а любые две из оставшихся пяти — пересекаются. Рассматриваются все треугольники со сторонами, лежащими на данных прямых. Какое наибольшее и наименьшее число таких треугольников может быть обнаружено?
—
—
Число треугольников, одна сторона которых лежит на прямой из P равно 
Двух сторон треугольника, лежащих на двух прямых из P, не бывает по причине их параллельности. Таким образом, 
то число треугольников равно 
Если 
то число искомых треугольников равно 
Таким образом, 
и 
следовательно, 
а 
и 
Треугольник BOC подобен треугольнику AOD, тогда
и 
Допустим, 
Тогда имеем цепочку равносильных преобразований 
получаем 
рассмотрим цепочку 
и 
лежат на параллельных прямых 
и 
и различаются по ординате на величину кратную 
Любая трапеция содержит в себе меньший по площади параллелограмм из допустимых. Наименьшую площадь имеют параллелограммы с длиной основания равной 
меньше, чем площадь 
откуда получается, что площадь 
меньше, чем площадь 
что и требовалось.The sides of triangle PQR are equal to 7, 8 and 10; M is an arbitrary point in the plane. Find the smallest possible value of the expression 
Стороны треугольника PQR равны 7, 8 и 10; M — произвольная точка плоскости. Найдите наименьшее значение
on 
have positive 
(we can assume that without loss of generality), we get 
and 
Subtracting the second equation from the first, we get 
frome here 
and 
Hence point R has coordinates 
be an arbitrary point in the plane. Then 
и 
from here
and 
It is easy to check that these are coordinates of the centroid of the triangle.
где 
Без ограничения общности можем считать, что 
Тогда 
и 
и 
и 
A tangential trapezoid KLMN is given; its lateral side KL is divided into segments 25 and 9 by a touchpoint with the incircle of this trapezoid. Find the smallest possible value of LM if perimeter of this trapezoid is equal to 224.
Трапеция KLMN описана около окружности, при этом боковая сторона KL разделена точкой касания на отрезки, равные 25 и 9. Найдите минимально возможную длину LM, если периметр трапеции равен 224.
are angle bisectors; hence 
As the trapezoid is tangential, sum of its bases is equal to sum of its legs. So its perimeter is 
from here 
or 
Now we see that the smallest possible value 
и удалим из него внутренний центральный квадрат 
оставив только рамку толщиной 1. В рамке будет как раз 40 клеток. Докажем, что на плоскости нет клетчатого прямоугольника, содержащего ровно 20 из этих 40 клеток.
(слишком мало).
и удалим из него клетки 
и 
Останется ровно 40 клеток. Предположим, что нашёлся клетчатый прямоугольник, в котором ровно 20 отмеченных клеток. Он может затрагивать одну, две или три горизонтали с 
с вырезанным центральным квадратом 
но доказательство более длинное.Дано положительное число c. В пространстве отмечено 99 точек таким образом, что для каждой из отмеченных точек расстояния до двух ближайших к ней отмеченных точек отличаются хотя бы в c раз. При каком наибольшем c это возможно?
(О. Иванова)
Из условия следует, что для любой отмеченной точки расстояние от неё до любой другой отмеченной точки (кроме ближайшей) превосходит расстояние до ближайшей хотя бы в c раз.
Пусть 
Поскольку AB — кратчайшее расстояние от точки A, то 
Поскольку BC — кратчайшее расстояние от точки B, то 
Тогда по неравенству треугольника
Это значит, что число c лежит на числовой прямой между корнями квадратного трехчлена 
В частности, 
что и требовалось.
В этом нам поможет первая часть решения: в неравенств (*) равенство достигалось в случае, когда точка B лежит на отрезке между A и C и, например, 
Отметим на плоскости 33 таких точек A1, B1, 
ближайшими будут точки 
и 
причем 
и 
причем 
ближайшими будут точки 
