РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2993 Добавить в вариант

В прямоугольном треугольнике ABC: $\angleABC=90 градусов,$ AC  =  6, BC  =  4. На прямой BC отмечается такая точка D (CD > BD), что $\angleADC=45 градусов.$ На прямой AD отмечается такая точка E, что периметр треугольника CBE  — наименьший из возможных. Затем, на прямой DС отмечается такая точка F, что периметр треугольника AFE  — наименьший из возможных. Найти CF.

Спрятать решение

Решение.

Построение и доказательство:

Для удобства, построим квадрат ACDK (AD  — диагональ ero, т. к. $\angle A D C=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Отметим точку B₁ на стороне DK, так

$B_1 D=BD \Rightarrow B_1 B \perp A D .$

Проведем прямую B₁C, которая пересечет AD в точке Е. Периметр треугольника CBE  — наименьший, так как из всех возможных точек E₁ на прямой AD  — сумма длин отрезков $B_1 E плюс EC$ наименьшая (неравенство треугольника  —

$B_1 E плюс EC меньше B_1 E_1 плюс E_1 C правая круглая скобка$

и $B_1 E=EB.$ Аналогично, отметим точку A₁ на стороне AC $левая круглая скобка A_1 C=AC правая круглая скобка .$ Проведем прямую A₁E, которая пересечет CD в точке F.

Периметр треугольника AFE  — наименьший, так как из всех возможных точек F₁ на прямой AD  — сумма длин отрезков $A_1 F плюс EF$ наименьшая, (неравенство треугольника  —

$A_1 F плюс EF меньше A_1 F_1 плюс F_1 E правая круглая скобка$

и $A_1 ~F=FA.$

Решение:

Найдем BD и B₁D:

$C D=A C=6 \Rightarrow B D=B_1 D=6 минус 4=2.$

Так как треугольники ACE и B₁ED подобные $левая круглая скобка \angle A E C=\angle B_1 E D минус$ вертикальные и $\angle E A C=\angle B_1 D E=45 градусов правая круглая скобка ,$ то

$E C: B_1 E=A C: D B_1=A E: E D=6: 2=3: 1.$

Пусть прямая EH перпендикулярна DC, следовательно, прямоугольные треугольники ACD и EHD подобны $левая круглая скобка \angle A C D$   — общий), тогда

$C D: H D=A C: E H=A D: E D=4: 1 \Rightarrow E H=H D=1,5 \Rightarrow C H=4,5.$ $C D: H D=A C: E H=A D: E D=4: 1 \Rightarrow$
$\Rightarrow E H=H D=1,5 \Rightarrow C H=4,5.$

Прямоугольные треугольники FHE и FСА₁ подобны $левая круглая скобка \angle E F H=\angle A_1 F C$ вертикальные), тогда

$C F: H F=A_1 F: E F=A_1 C: E H=6: 1,5=4: 1 ;$

$C H=4,5 \Rightarrow C F=0,8 умножить на 4,5=3,6.$

Ответ: 3,6.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы
20	Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи.
16	При верном и обоснованном ходе решения имеется арифметическая ошибка или решение недостаточно обосновано.
12	При верном ответе нет доказательства минимальности периметра.
4	Верно начато решение задачи, получены некоторые промежуточные результаты, дальнейшее решение неверно или отсутствует.
0	Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям.

Аналоги к заданию № 2993: 3004 Все

Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Экстремальные задачи, Методы геометрии. Неравенство треугольника, Методы геометрии. Подобие

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь