Докажите, что для положительных чисел a, b, c, удовлетворяющих условию выполняется неравенство
Решение.
Так как то Тогда
Следовательно, нужно доказать что
Используя неравенство о средних, получим
Следовательно,
Критерии проверки:
Баллы
Критерии оценивания
7
Полное обоснованное решение.
6
Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4
Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3
Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1
Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0
Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Даны положительные числа x, y, z, удовлетворяющие соотношение Докажите, что
(А. Храбров)
Решение.
Воспользуемся неравенством
Для его доказательства достаточно раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и заметить, что получившееся неравенство есть сумма трех неравенств:
Сократим неравенство на Левая часть, если ее раскрыть по биному, содержит слагаемое Проверим, что уже одно это слагаемое крупнее правой части, т. е. что выполняется неравенство
Сократим воспользуемся формулой для биномиального коэффициента
и домножим на
Запишем последнее неравенство в виде
Теперь неравенство очевидно: каждый множитель в левой части крупнее соответствующего множителя в левой.
Дано натуральное число m. Докажите, что при некотором натуральном k имеет место неравенство
Решение.
Пусть
Заметим, что но если увеличивать k, то когда-то станет больше 1, поскольку
а при больших k второй множитель больше Осталось проверить, что, изменяясь от малых значений к большим, последовательность не сможет проскочить промежуток Это следует из того, что при увеличении k на 1 значение не может вырасти более чем на 1. Это легко проверить непосредственно.
Даны числа x, y, удовлетворяющие условию Докажите неравенство
Решение.
В силу четности достаточно рассмотреть неотрицательные x и y. Можно также считать, что иначе переставим x и y, увеличив левую часть неравенства. Из условия вытекает, что и Положим и рассмотрим пятиугольник ОABCD с вершинами в точках (см. рисунок). Так как и
пятиугольник содержится в четверти единичного круга с центром в О, лежащей в первом квадранте. Поэтому
Приведём другое решение. В силу четности достаточно рассмотреть неотрицательные x и y. Положим и где и По условию
Даны числа x, y, удовлетворяющие условию Докажите неравенство
Решение.
Положим По условию
откуда В силу симметрии неравенства можно считать Рассмотрим четырехугольник ОABC (см. рисунок) с вершинами в точках Заметим, что поскольку а есть расстояние от B до прямой OC. Таким образом,
Осталось заметить, что площадь OABC не превосходит площади сектора радиуса раствора которая равна
Приведем другое решение. Положим и В силу условия
которое после раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и деления на сводится к неравенству Домножим обе части правого неравенства на Получим неравенство
Раскроем скобки в и сократим на Тогда получим неравенство
Оно непосредственно следует из неравенства о средних для двух чисел.
Даны различные натуральные числа a1, a2, a3, a4, a5, a6 и a7. Докажите, что
(
Решение.
Заметим, что все слагаемые не меньше 1. Если одна из скобок хотя бы 3, то вся сумма заведомо больше Поэтому далее мы будем считать, что любая из скобок по модулю не превосходит 2. Отметим на прямой числа a1, a2, ..., a7. Пусть aj — наименьшее из них, а ak — наибольшее. Тогда — длина отрезка, соединяющего точки ai и Пусть для определенности Тогда
и
Сложив эти неравенства, мы получим неравенство
Итак, сумма модулей не менее 12, значит, мы имеем либо не менее шести двоек, либо пять двоек и две единицы. Сумма четвёртых степеней разностей в обоих случаях не меньше 82.
Положительные числа a, b и c удовлетворяют условию Докажите неравенство
Решение.
Достаточно проверить неравенство
или, что то же самое,
Последнее очевидно, поскольку по неравенству о средних для двух чисел
Приведем другое решение. Можно считать, что Нам надо доказать неравенство
Рассмотрим выражение слева как квадратный трехчлен относительно c. Он неотрицателен, тогда и только тогда, когда c лежит между его корнями a и b. Таким образом, достаточно проверить, что Это уже совсем просто:
выполняется неравенство 
Тогда 
Докажите, что 
следует, что 
получаем требуемое.
Заметим, что 
и 
Докажите, что 
Левая часть, если ее раскрыть по биному, содержит слагаемое 
Проверим, что уже одно это слагаемое крупнее правой части, т. е. что выполняется неравенство 
воспользуемся формулой для биномиального коэффициента 
в левой части крупнее соответствующего множителя 
в левой.
но если увеличивать k, то когда-то 
станет больше 1, поскольку 
Осталось проверить, что, изменяясь от малых значений к большим, последовательность 
Это следует из того, что при увеличении k на 1 значение 
Докажите неравенство 
иначе переставим x и y, увеличив левую часть неравенства. Из условия вытекает, что 
и 
Положим 
и рассмотрим пятиугольник ОABCD с вершинами в точках 
(см. рисунок). Так как 
и 
и 
По условию 
Поэтому 
Тогда 
Докажите неравенство 
Положим 
и рассмотрим пятиугольник ОABCD с вершинами в точках 
и 
(см. рисунок). Так как 
и 
Тогда 
достигается при 
Докажите неравенство 
По условию 
В силу симметрии неравенства можно считать 
Рассмотрим четырехугольник ОABC (см. рисунок) с вершинами в точках 
Заметим, что 
поскольку 
а 
есть расстояние от B до прямой OC. Таким образом, 
раствора 
которая равна 
и 
В силу условия 
Тогда 
и 
Докажите неравенство
Докажите, что 
заключаем, что 
и 
Следовательно, по неравенству о средних для двух чисел 
сводится к неравенству 
Домножим обе части правого неравенства на 
Получим неравенство 
и сократим на 
Тогда получим неравенство 
Докажите неравенство
Обозначим 2018 через n. Тогда неравенство можно переписать в виде 
биномиальные коэффициенты. Так как 
то левая часть заведомо строго больше 
то есть неравенства 
получится требуемое неравенство.
останется проверить неравенство 
и 
Поэтому далее мы будем считать, что любая из скобок по модулю не превосходит 2. Отметим на прямой числа a1, a2, ..., a7. Пусть aj — наименьшее из них, а ak — наибольшее. Тогда 
— длина отрезка, соединяющего точки ai и 
Пусть для определенности 
Тогда 
и 
Тогда 
и 
Следовательно, 
Докажите неравенство 
Нам надо доказать неравенство 
Это уже совсем просто: 
Докажите следующие неравенство:
получаем 
и подставляем в неравенство первого пункта (взятое для переменных а, b, с). Получаем 
