Всего: 135 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
2.4 Пусть 
Докажите следующие неравенство:
Сюжет 2
Пусть x, y, z > 0. Докажите следующие неравенства:
Разделим первую дробь на z3, вторую на x3, третью на z3 и обозначим 
Тогда первая дробь преобразуется (с учетом тождества 
следующим образом:
Применяя аналогичные преобразования к остальным дробям, сведем исходное неравенство к следующему:
Произведем над ним следующие эквивалентные преобразования (применяя в конце тождество 
Последнее сразу следует из неравенства о средних:
2.1 Пусть Докажите следующие неравенство:
Поскольку 
получаем
Произведение положительных чисел a, b, c и d равно 1. Докажите неравенство
Поскольку
справедливо неравенство
Сложив его с тремя аналогичными неравенствами, получим, что левая часть доказываемого неравенства не меньше, чем
Приведем другое решение. Заметим, что
Действительно, это неравенство после домножения на знаменатель превращается в неравенство
Но в таком виде оно очевидно, поскольку скобки в левой части имеют одинаковый знак, и их произведение неотрицательно.
Следовательно,
В последнем неравенстве мы дважды воспользовались неравенством о средних для двух чисел:
и
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Положительные числа a, b и c удовлетворяют условию 
Докажите неравенство
Поскольку 
то
Следовательно, достаточно доказать, что выражение в скобках не меньше, чем 
Это равносильно неравенству
Докажем, что 
Действительно, это равносильно неравенству 
которое уже совсем простое:
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Сумма положительных чисел a, b и c равна 1. Докажите неравенство
Заметим, что
Действительно, это неравенство после домножения на знаменатель примет вид 
что эквивалентно неравенству 
В таком виде оно очевидно, поскольку скобки в левой части одного знака.
Следовательно,
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Положительные числа a, b и c удовлетворяют условию 
Докажите неравенство
Заметим, что 
поэтому
Следовательно, достаточно доказать, что выражение в скобках не меньше 
Это равносильно неравенству
или, что тоже самое, неравенству
Но левая часть после раскрытия скобок имеет вид
где каждая скобка не меньше двух, поскольку является суммой взаимно обратных чисел.
Таким образом, достаточно доказать, что
то есть 
Но это неравенство справедливо, поскольку
Замечание. Неравенство (*) можно объяснить и другими способами. Например, по неравенству о средних
и
поэтому левая часть не меньше 9. Правая часть не больше 9, поскольку
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Для любых положительных чисел a, b и c докажите неравенство
Поскольку
знаменатель первой дроби не меньше
Аналогичную оценку допускают и другие знаменатели. Поэтому нам достаточно доказать, что
Это равносильно неравенству
которое после раскрытия скобок превращается неравенство
Но оно уже очевидно:
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Для положительных чисел a, b и c докажите неравенство
Решение. По неравенству о средних для двух чисел
и
Сложив эти неравенства и сократив на 
получим
Просуммируем это неравенство с двумя аналогичными:
поскольку
После сокращения на 
получим требуемое.
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Для положительных чисел a, b и c докажите неравенство
По неравенству о средних для двух чисел
и
Сложив эти неравенства и сократив на 
и a, получим 
Просуммируем это неравенство с двумя аналогичными:
После сокращения на 
получим требуемое.
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Для любых положительных чисел x, y и z докажите неравенство
С помощью раскрытия скобок и неравенства о средних для двух чисел легко проверить, что
Следовательно,
Поэтому достаточно доказать неравенство
которое после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых превращается в неравенство
Но это сумма очевидных неравенств
Замечание. Неравенство (*) можно доказать и иначе. Воспользуемся тождеством
Выражая из него правую часть (*), мы получим неравенство
являющееся произведением трех неравенств о средних
Для любых положительных чисел x, y и z докажите неравенство
С помощью раскрытия скобок и неравенства о средних для двух чисел легко проверить, что
Следовательно,
Поэтому достаточно доказать неравенство
которое после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых превращается в неравенство
Но это сумма очевидных неравенств
Замечание. Неравенство (*) можно доказать и иначе. Воспользуемся тождеством
Выражая из него правую часть (*), мы получим неравенство
являющееся произведением трех неравенств о средних
Для любых положительных чисел x, y и z докажите неравенство
По неравенству о средних для двух чисел имеем
Складывая неравенство с двумя аналогичными
и
получим
Для любых положительных чисел x, y и z докажите неравенство
Заметим, что
Поэтому левая часть неравенства не меньше, чем
Положим 
и 
Тогда
и осталось доказать, что
Это неравенство получится, если сложить три очевидных неравенства
Для натуральных чисел a, b, c и x, y, z выполняются равенства 
и 
Докажите неравенство
Когда достигается равенство?
Определим вектора 
и 
Тогда
неравенство треугольника. В координатах это неравенст во приобретает вид:
Равенство достигается, когда вектора и 
одинаково направлены, то есть
Ответ: когда вектора и одинаково направлены, то есть
и одинаково направлены, то естьНайдите наименьшее расстояние от точки с координатами (10; 5; 10) до точки, координаты которой положительны и удовлетворяют неравенству
В ответ запишите квадрат найденного расстояния.
Используем неравенство Коши 
которое выполняется для всех положительных значений a, b, c. 
Поскольку все части неравенств положительны, то
Выражение
Таким образом, наименьшее расстояние от точки с координатами (10; 5; 10) до точки, координаты которой положительны и удовлетворяют исходному неравенству, равно расстоянию от точки (10; 5) в плоскости Оxy до прямой 
Это расстояние в квадрате равно 115,2.
Ответ: 115,2.
Найдите наименьшее расстояние от точки с координатами (5; 10; 13) до точки, координаты которой положительны и удовлетворяют неравенству
В ответ запишите квадрат найденного расстояния.
Используем неравенство Коши 
которое выполняется для всех положительных значений a, b, c. Тогда
или
Поскольку все части неравенств положительны, то
Выражение
для всех возможных значений x и y. Исходное неравенство справедливо для всех положительных z и всех положительных x и y, для которых выполняется неравенство 
Таким образом, наименьшее расстояние от точки с координатами неравенство 
Таким образом, наименьшее расстояние от точки с координатами (5; 10; 13) до точки, координаты которой положительны и удовлетворяют исходному неравенству, равно расстоянию от точки (5; 10) в плоскости Oxy до прямой 
Это расстояние в квадрате равно 115,2.
Ответ: 115,2.
Найдите наименьшее расстояние от точки с координатами (7; 3; 6) до точки, координаты которой положительны и удовлетворяют неравенству
В ответ запишите квадрат найденного расстояния.
Используем неравенство Коши 
которое выполняется для всех всех возможных значений z и y. Исходное неравенство справедливо для всех положительных x и всех положительных z и y, для которых выполняется 
Это расстояние в квадрате равно 39,2.
Ответ: 39,2.
Доказать неравенство 
Данное неравенство равносильно
откуда по формуле разности квадратов
Приводя подобные, получим:
Сокращая (с учетом 
и домножая на положительный знаменатель, приходим к неравенству
которое выполняется для всех 
так как
Неравенство доказано.
Найдена основная идея решения, но решение не доведено до конца или содержит грубые ошибки, или ответ получен, но не приведено обоснование — 1−2 балла.
Найдена основная идея решения, но решение содержит некоторые пробелы или неточности — 3−4 балла.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 5 баллов.
Доказать неравенство 
Данное неравенство равносильно
откуда по формуле разности квадратов
Приводя подобные, получим:
Сокращая (с учетом 
и домножая на положительный знаменатель, приходим к неравенству
которое выполняется для всех так как 
и 
Неравенство доказано.
Найдена основная идея решения, но решение не доведено до конца или содержит грубые ошибки, или ответ получен, но не приведено обоснование — 1−2 балла.
Найдена основная идея решения, но решение содержит некоторые пробелы или неточности — 3−4 балла.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 5 баллов.
Доказать неравенство 
Решение. Данное неравенство равносильно
откуда по формуле разности квадратов
Приводя подобные, получим:
Сокращая (с учетом
и домножая на положительный знаменатель, приходим к неравенству
которое выполняется для всех так как
Неравенство доказано.
Найдена основная идея решения, но решение не доведено до конца или содержит грубые ошибки, или ответ получен, но не приведено обоснование — 1−2 балла.
Найдена основная идея решения, но решение содержит некоторые пробелы или неточности — 3−4 балла.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 5 баллов.
Докажите, что для любых различных натуральных чисел m и n справедливо неравенство 
Если одно из этих чисел (например, n) равно 1, то неравенство принимает вид 
и выполнено при любом 
Далее без ограничения общности будем считать, что 
Тогда 
поэтому
и 
Следовательно, достаточно доказать неравенство
для всех 
Используя тождество
в котором положим 
и 
а также учитывая неравенство 
получаем
Приведем другое решение.
Докажем сначала вспомогательное утверждение: если производная 
функции f(x) положительна и возрастает на отрезке [a; b], то
Действительно, в этом случае касательная в точке a к графику функции 
лежит ниже этого графика, и поэтому пересекает отрезок между точками (b, f(a)) и (b, f(b)) в некоторой точке 
Следовательно,
Пусть, для определенности, 
тогда 
Применим доказанное выше утверждение к функции 
(ее производная равна 
на отрезке 
Применяя еще раз это же утверждение к функции 
(тогда 
на отрезке [n; m], получаем
Отсюда следует требуемое неравенство.
Наверх