Всего: 224 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
и 
для некоторых действительных чисел a, b, c, d. Найти все возможные значения выражения 
Выразим из второго равенства 
и подставим в равенство 
Избавившись от знаменателя, получим 
откуда ввиду 
получим 
Подставив это в равенство 
получим 
Ввиду равенства 
либо 
В обоих случаях 
то из 
или 
Первое невозможно в силу 
значит, 
откуда снова 
(если это необходимо в решении).
представлена в виде периодической десятичной дроби. Найдите длину периода. (Например, длина периода дроби 
равна 3.)
в десятичную. Для этого выполним деление уголком (рис.). В результате найдем 
Получена непериодическая часть 123 и период 63. Обсудим, почему непериодическая часть здесь возникла, и покажем, что у дроби 
(остатку от деления на 275 числа 340). То есть 
Аналогично, 
где 
Числа 650 и 1750 дают одинаковые остатки при делении на 275 из-за того, что их разность на 275 делится нацело: 
⋮ 275.
и 
– это различные остатки от деления на 221, то произведение 
на 221 нацело не делится (число 221, в отличие от 275, взаимно просто с 10 – основанием системы счисления, поэтому непериодической части нет). Итак, десятичная запись дроби 
Найдем 
Обозначим 
Тогда 
По формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
Отсюда 
Поскольку A — натуральное число, требуется найти наименьшее натуральное n, при котором число 
дает остаток 1 при делении на 221.
при делении на 221 дает остаток 1 в том и только том случае, когда B при делении и на 13, и на 17 также дает остаток 1. Необходимость очевидна. 
и 
то 
а значит, число 
делится на 17, то есть 
Поэтому 
и при делении на 221 действительно получается остаток 1. Найдем теперь такие n, что число 
Заменим её члены остатками от деления на 13. Получится вот что: 
Каждый последующий член однозначно определяется предыдущим. Значит, 
– периодическая последовательность, в которой каждый шестой член равен 1. То же проделаем для 17. Там единице будет равен каждый 16-й член. Таким образом, остаток 1 при делении и на 13, и на 17 получится при n = НОК(6,16) = 48. 
обозначает число xy + 5x − 3 y − 12. Найдите значение выражения 
Следовательно, 
Далее получаем:
.
a тaкже все остaльные дроби, получaющиеся из неё перестaновкой чисел a, b, c, d, кроме имеющих тождественно нулевой знaменaтель. Могло ли тaк получится, что среди выписaнных дробей ровно 7 рaзличных?
и ещё столько же обратных к ним.
Это легко доказывается через формулу разности степеней или пользуясь тем обстоятельством, что 
mod 
При этом частное тоже больше единицы при 
получаем значение 0). При подстановке двойки получаем результат — 3, значит, таких n не существует.
(при необходимости) 1,5 балла. 
У Коли в тетради был записан многочлен сотой степени. Коля может взять один из записанных в тетради многочленов, прибавить a к коэффициенту при k-ой степени и вычесть 2a от коэффициента при (k + 1)-ой степени, после чего записать полученный многочлен в тетрадь к уже имеющимся. Могут ли у него в тетради после некоторого количества таких действий оказаться два многочлена, один из которых строго больше другого?
Если коэффициент при какой-то степени равен нулю, то с ним тоже можно проводить эту операцию.
значит, все многочлены, оказавшиеся у Коли в тетрадке, будут совпадать в этой точке, и поэтому ни один из них не будет строго больше другого.У Коли в тетради был записан многочлен двухсотой степени. Коля может взять один из записанных в тетради многочленов, прибавить 2a к коэффициенту при k-ой степени и вычесть a от коэффициента при (k + 1)-ой степени, после чего записать полученный многочлен в тетрадь к уже имеющимся. Могут ли у него в тетради после некоторого количества таких действий оказаться два многочлена, один из которых строго больше другого?
Если коэффициент при какой-то степени равен нулю, то с ним тоже можно проводить эту операцию.
С числом, записанным на доске, разрешается выполнять одну из следующих операций:
1) Заменить число на разность числа, полученного из него отбрасыванием последних трех цифр, и числа, составленного из его трех последних цифр (возможно, записанного в неправильной форме — с нулями в начале; разность берется положительная — из большего числа вычитается меньшее).
2) Если в исходном числе есть цифра, не равная 9, имеющая две соседние цифры, большие 0, можно увеличить эту цифру на 1, а соседние уменьшить на 1. Если в результате в числе на первом месте остаются нули, они отбрасываются.
Изначально на доске было написано 98 восьмёрок. В конце осталось двузначное число. Какое именно?
где 
выполнили первую операцию. Тогда оно превратилось в 
или в 
В первом случае сложим эти числа, во втором вычтем — получится 
что делится на 91. Это значит, что если до выполнения операции остаток от деления нашего числа на 91 был равен x, то после выполнения операции остаток от деления нового числа либо 
либо по-прежнему x. 
а затем из него вычитаются 
и 
В сумме из числа вычитается 
то есть остаток от деления на 91 сохраняется. У изначального числа остаток от деления на 91 был равен 88 (так как 
делится на 91, а значит, число из 96 восьмёрок и двух нулей на конце делится на 91. Следовательно, итоговое число может давать при делении на 91 остатки 88 или 3, а среди двузначных чисел это только 88 и 94. Докажем теперь, что оба числа получить можно. Применяя к числу, состоящему из восьмёрок, первую операцию дважды, мы просто уменьшаем количество восьмёрок на 6. После многократного применения этой операции у нас появится как раз число 88. Для того, чтобы получить 94, нам надо остановиться на четыре шага раньше, т. е. на числе 88 888 888. Из него получаем 88 887 978, затем 88 878 878, затем 88 878 787, затем 88 878 696, затем 88 192 и, наконец, 94. С числом, записанным на доске, разрешается выполнять одну из следующих операций:
1) Заменить число на разность числа, полученного из него отбрасыванием последних четырех цифр, и числа, составленного из его четырех последних цифр (возможно, записанного в неправильной форме — с нулями в начале; разность берется положительная — из большего числа вычитается меньшее).
2) Если в исходном числе три подряд идущих цифры a > 0, b < 7, c > 2 (именно в таком порядке) разрешается заменить на a − 1, b − 3, c + 3. Если в результате в числе на первом месте остаются нули, они отбрасываются.
Изначально на доске было написано число из ста пятерок. В конце осталось двузначное число. Какое именно?
где 
выполнили первую операцию. Тогда оно превратилось в 
что делится на 73. Это значит, что если до выполнения операции остаток от деления нашего числа на 73 был равен x, то после выполнения операции остаток от деления нового числа либо 
либо по-прежнему x. 
а также из него вычитаются 
и 
В сумме из числа вычитается 
то есть остаток от деления на 73 сохраняется. 
?
записали в виде конечной десятичной дроби. Какая цифра стоит на четвертом месте с конца?
четвертая цифра с конца — 0, а для 
получаем то же окончание, что и для 
поэтому 
Тогда выражение преобразуется к виду 
при натуральных a, выполняются неравенства 
откуда 
Подставив в эти неравенства формулы для наших чисел и сократив дроби, получим 
Шесть чисел записаны в ряд. Известно, что среди них есть единица и любые три соседних числа имеют одинаковое среднее арифметическое. Найдите максимальное значение среднего геометрического любых трёх соседних в этом ряду чисел, если среднее арифметическое всех 6 чисел равно A.
..., 
Запись в ряд имеет вид 
и перепишем (1) в 
тогда 
и среднее геометрическое трех соседних чисел выражается как 
Функция 
имеет максимум в той же точке, что и функция 
Таким образом, максимальное значение функции 
есть 
Число x неизвестно, но известно число 
а) Выразите через A числа 
для 
б) Выясните, при каких A и x выполняются равенства 
с) При каких значениях x (и, соответственно, A) количество арифметических операций для вычисления 
минимально? Вычислите при найденных значениях x величину
тогда 
откуда 
то 
Покажем, что условия 
невозможны. Если 
то 
Если же 
то 
Этим значениям A соответствуют 
В этом случае нет необходимости вычислять степени и вычисления сводятся к одному сложению. Соответствующее значение 
или 
кратна 7.
отделения чисел x на 7.
Для которых 
кратно 7.
соответствующих 
Они могут быть трех видов: 
таких троек 
ровно 
попарно различны, таких 
соответствующих 
(по 2 в каждом из 10 циклов первой таблицы). Такое же точно количество остатков 1 и остатков 4. Таким образом, учитывая, что остатки не зависят друг от друга, полу чаем 
