Всего: 63 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–63
Добавить в вариант
В памяти суперкомпьютера находится строка чисел, бесконечная в обе стороны. В начальный момент одно число строки равно единице, а все остальные нули. За один шаг суперкомпьютер прибавляет к каждому из чисел строки сумму обоих соседних с ним чисел (все прибавления происходят одновременно). Получается такая последовательность строк:
...
Правда ли, что начиная со второго шага в каждой строке встретится хотя бы одно ненулевое четное число? Ответ обосновать.
делится на 35.
Тогда 
делится на 
Что и требовалось доказать.
Если бы на доске стояло только три ладьи на белых клетках, а остальные на черных, это бы означало, что сумма индексов всех клеток, на которых расположились ладьи, оказалась нечетной, что противоречит выше сказанному. Значит, есть еще как минимум одна ладья на белой клетке.
а 
откуда 
и 
Следовательно, 
что невозможно, левая часть четна, а правая — нечетна. 
а 
Тогда 
и 
откуда 
или 
следовательно, 
(l — целое): 
Федора и Емеля получили на свадьбу 2018 коробок, в которых находится 1, 2,
при некотором натуральном a состоять только из девяток?
Заметим, что оба множителя не могут одновременно делиться на 5, так как 
делится на 5 при 
a 
делится на 5 при 
Значит, один из множителей 
так как в этом случае
В таком случае 
Остаётся заметить, что 
Известно, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Известно, что каждый эльф является либо рыцарем, либо лжецом. Несколько эльфов выстроены в ориентированную с севера на юг колонну. Каждый эльф в колонне смотрит на север или на юг. Каждого эльфа спросили, чётно ли число лиц рыцарей, обращённых к нему. Можно ли по этой информации определить чётность количества рыцарей в колонне?
a, 
Тогда его периметр равен 3a и по формуле Герона его площадь равна 
Условие 
эквивалентно тому, что 
и при 
левая часть уже больше, чем 
откуда 
будет целым. Можно перебрать все a от 2 до 17, а можно сократить перебор, заметив, что поскольку квадратный корень из 
должен извлекаться, то 
откуда 
для целого m. Отсюда следует, что a не делится на 3. При этом 
значит, m должно быть четным, тогда и a четно. Четных чисел, не делящихся на 3, в указанных пределах имеется пять штук: 4, 8, 10, 14, 16. Непосредственной проверкой можно убедиться, что подходят только 
и 
Радиус вписанной окружности тогда равен, соответственно, 1 и 4.Опишите множество слов из букв a и b, которые можно разбить на чередующиеся блоки из букв a и букв b нечётной длины, например, abbbaaaaab.
Для описания используйте формулы, которые называются регулярными выражениями. Так для повторения блока из нескольких букв используйте операцию «звездочка» (итерация), например, (abb)* задает множество слов {пустое слово, abb, abbabb, abbabbabb, …}
Умножение множеств (эту операцию, как обычно в алгебре, изображают точкой или вообще опускают, что мы и будем делать), описывает склейку всех слов первого множества со словами второго (третьего и т. д.), например a*cb* обозначает множество слов: {с, ac, cb, acb, aac,..., aaa...acb.. b, ...}. Обратите внимание что слова, в которых нет букв a или b, получаются за счет того, что результат итерации может не содержать символов, то есть быть пустым словом.
Последней операцией, которая используется в формулах, является сложение. Сложение соответствует объединению множеств. Так обозначение (a+b)*c+d(ac*+) описывает множество всех последовательностей из букв a и b (обозначается (a+b)*), к концу которых присоединена буква c, объединенного с множеством слов, начинающихся с буквы d, за которой следует буква a, а за ней любое число букв c и ещё одним однобуквенным словом (d умножить на пустое слово — это d).
Слева приведены примеры слов, которые удовлетворяют нашему условию, справа примеры слов, которые не удовлетворяют ему. Благодаря подсветке вы можете видеть, какие из этих примеров и контрпримеров удовлетворяют построенному вами выражению, а какие — нет.
Пустое слово считать разбивающимся на 0 блоков, т. е. подходящим под условие. В качестве начального решения вы можете видеть выражение, которому удовлетворяет слово a и пустое слово.
How many ways are there to choose 4 different integers from a closed interval [1; 61] in such a way that their sum is an even number? The sets that contain the same numbers placed in different orders are considered to be identical.
Сколькими способами можно выбрать 4 различных натуральных числа из отрезка [1; 61] так, чтобы их сумма была чётной? Наборы, отличающиеся лишь порядком чисел, считаются одинаковыми.
Три богатыря бьются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает Змею половину всех голов и ещё одну, Добрыня Никитич — треть всех голов и ещё две, Алёша Попович — четверть всех голов и ещё три. Богатыри бьют по одному в каком хотят порядке, отрубая каждым ударом целое число голов. Если ни один богатырь не может ударить (число голов получается нецелым), Змей съедает всех троих. Смогут ли богатыри отрубить все
(А. Заславский)
то после удара Ильи их станет 
а после следующего за ним удара Добрыни их станет 
Для 
2) 
3) 
можно представить в виде суммы двух точных квадратов тогда и только тогда, когда число 
чётное.
и 
и 
Треугольником Паскаля называют бесконечную треугольную таблицу чисел, у которой на вершине и по бокам стоят единицы, а каждое число внутри равно сумме двух стоящих над ним чисел. Так, например, третья строка треугольника (1, 2, 1) содержит два нечетных числа и одно четное. Сколько четных чисел содержится:
а) в строке с номером 256?
б) в строке с номером 200?
Рассмотрим структуру треугольника подробнее. Треугольник, сформированный первыми восемью строками, обозначим T8. В строке 9 всего две единицы (по бокам), остальные — нули. С этой строки и вниз далее идет формирование двух треугольников T8, которые «встречаются друг с другом» в строке 16. Начиная со строки 17 и ниже, образовываются два треугольника T16, которые, в свою очередь, «встречаются» в строке 32. Со строки 33 и ниже формируются два треугольника T32 и т. д. Таким образом, строки, чей номер представляет собой степень двойки, состоят только из единиц. Поэтому в строке 256 четных чисел нет.
Значит, единиц в строке 200 вдвое больше, чем единиц в строке с номером 72. В свою очередь единиц в строке 72 вдвое больше, чем в строке 8 (рассмотреть треугольники, формирующиеся после строки 64). Количество же 1 в строке 8 можно подсчитать непосредственно — их 8 штук. Значит, в строке 200 их 32, остальные 168 — нули.Треугольником Паскаля называют бесконечную треугольную таблицу чисел, у которой на вершине и по бокам стоят единицы, а каждое число внутри равно сумме двух стоящих над ним чисел. Так, например, третья строка треугольника (1, 2, 1) содержит два нечетных числа и одно четное. Сколько четных чисел содержится:
а) в строке с номером 1024?
б) в строке с номером 1050?
3начит единиц в строке 1050 вдвое больше, чем единиц в строке с номером 26. Количество же 1 в строке 26 можно подсчитать непосредственно, или, рассуждая аналогично, заметить, что их вдвое больше, чем в строке 10. То есть всего в строке 26 восемь 1. Значит, в строке 1050 их 16. Остальные 1034 — нули.Треугольником Паскаля называют бесконечную треугольную таблицу чисел, у которой на вершине и по бокам стоят единицы, а каждое число внутри равно сумме двух стоящих над ним чисел. Так, например, третья строка треугольника (1, 2, 1) содержит два нечетных числа и одно четное. Сколько четных чисел содержится в строке с номером 100?
Значит, единиц в строке 100 вдвое больше, чем единиц в строке с номером 36. В свою очередь единиц в строке 36 вдвое больше, чем в строке 4 (рассмотреть треугольники, формирующиеся после строки 32), то есть 8 штук. Значит, в строке 100 их 16. Остальные 84 — нули.
и 
для всех натуральных n от 1 до 100. Какое наименьшее положительное значение может принимать выражение 
Заметим, что числа последовательности (xn) с нечётными номерами n принимают только нечётные значения, а с чётными номерами n — только чётные значения. Поэтому положительный минимум выражения S достигается в том случае, когда слагаемое 
— ближайшее к 100 чётное число. Число 100 находится между квадратами чётных чисел 
и 
причём 
Значит, наименьшее положительное значение S будет равно 
если удастся доказать, что квадрат числа 
может равняться 
и, значит, 
и разложим левую часть на множители: 
и 
являются степенями простого числа p. Но 
то 
или 
во втором 
Последовательные нечётные натуральные числа выписывают «по спирали», как показано на рисунке. Числа 3, 15 и остальные, находящиеся вместе с ними на одной прямой, назовём хорошими (на рисунке они выделены серым). Если упорядочить хорошие числа по возрастанию (3, 15, 23, 43, ...), то чему равно 2020-е число в этом ряду?
