РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7327 Добавить в вариант

Пусть m и n  — натуральные числа. Докажите, что число $5 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 5 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка$ можно представить в виде суммы двух точных квадратов тогда и только тогда, когда число $n минус m$ чётное.

Спрятать решение

Решение.

Если m и n оба четны, то $m=2 k,$ $n=2 l$ и

$5 в степени левая круглая скобка 2 k правая круглая скобка плюс 5 в степени левая круглая скобка 2l правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка l правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате .$

Если m и n оба нечетны, то $m=2 k плюс 1,$ $n=2 l плюс 1$ и

$5 в степени левая круглая скобка 2 k плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 в степени левая круглая скобка 2 l плюс 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка плюс 2 умножить на 5 в степени левая круглая скобка l правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка l правая круглая скобка минус 2 умножить на 5 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате .$

Если m и n имеют разную четность, то

$5 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 5 в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка 2 k плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 в степени левая круглая скобка 2 l правая круглая скобка \equiv 6 левая круглая скобка \bmod 8 правая круглая скобка .$

Но остатки точных квадратов по модулю 8 могут принимать лишь значения 0, 1 и 4 и остаток их суммы по модулю 8 не может быть равен 6.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	12
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки или арифметической ошибки получен неверный ответ.	±	8
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении.	±2	6
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	±	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Алгебра: числа. Чётность / нечётность

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь