Всего: 63 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–63
Добавить в вариант
2.3 Могут ли наименьший и наибольший элементы множества AP быть разной четности?
Сюжет 2
Дан многочлен P(x) с вещественными коэффициентами. Пусть lP(c) это количество решений уравнения P(x) = c. Обозначим за Ap множество всех возможных значений lP(c).
Возьмем c, реализующее максимум. Если есть точки касания, слегка (не доходя до следующей точки касания) подвинем c в ту сторону, с которой точек касания больше (то есть, увеличим, если локальных минимумов больше, и наоборот). Тогда точек касания не станет, а количество общих точек с многочленом не уменьшилось. То есть, после сдвига наша прямая по-прежнему дает максимум. Без точек касаний число точек пересечения соответствует четности функции (а значит, одной четности с минимумом 0/1).
Ответ: нет.
2.1 Можно ли по AP определить степень многочлена P?
Например: 
Ответ: нет.
Для скольких двузначных натуральных чисел n верны ровно два из этих трех утверждений: а) n нечетно; б) n не делится на 3; в) n делится на 5?
Можно рассмотреть первые 30 двузначных чисел (от 10 до 39), а потом результат умножить на 3, т. к. остатки при делении
1) Выполнены (А) и (Б) и не выполнено (В). Из (А) и (Б) следует, что n делится на 6 с остатком 1 или 5, при этом n не должно делиться на 5. Таких чисел восемь: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
2) Выполнено (А), не выполнено (Б) и выполнено (В). Тогда n делится на 6 с остатком 3, при этом n делится на 5. Такое число одно: 15.
3) Не выполнено (А), выполнены (Б) и (В). Тогда n делится на 6 с остатком 2 или 4, при этом n делится на 5. Таких чисел 
числа.
Ответ: 33.
У натурального числа n взяли наименьший делитель a, отличный от 1, и следующий за ним по величине делитель b. Оказалось, что 
Найдите n.
(А. Храбров)
Если n нечетно, то все его делители также нечетны. Тогда a и b нечетны 
—
Стало быть, 
Следовательно, 
делится на b. Тогда 
поскольку 
Таким образом, 
Ответ: 
В 1а классе каждого ребенка попросили написать два числа: количество его одноклассников и количество его одноклассниц (именно в таком порядке; сам себя ребенок не считает). Каждый ребенок одно число написал правильно, а в другом ошибся ровно на 2. Среди ответов были получены такие: (13, 11), (17, 11), (14, 14). Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?
Обозначим детей, давших ответы (13, 11), (17, 11), (14, 14). через А, Б, В соответственно. Заметим, что если в классе m мальчиков, то первое число в ответах девочек имеет ту же чётность, что и m, а в ответах мальчиков — противоположную. Следовательно, дети А и Б одного пола, а В — другого.
Первые числа в ответах А и Б отличаются на 4, значит, они оба неправильные. Таким образом, количество одноклассников у А и 5 равно 15, а количество одноклассниц — 11.
Если А и Б — мальчики, то в классе 16 мальчиков и 11 девочек. При этом у девочки В тогда 16 одноклассников и 10 одноклассниц, и ее ответ (14, 14) противоречит условию. Значит, А и Б девочки, и в классе 15 мальчиков и 12 девочек.
Ответ: 15 мальчиков и 12 девочек.
Приведем другое решение.
Пусть какой-то ребёнок написал числа (m, d). Если бы оба числа он написал правильно, то он бы написал один из четырёх вариантов:
Тогда, если этот ребёнок — мальчик, то есть четыре варианта количества мальчиков и девочек в классе: 
и 
Аналогично, если этот ребёнок — девочка; возможные варианты в этом случае:
Таким образом, каждый из ответов даёт нам восемь вариантов, сколько мальчиков и девочек могло быть в классе, один из которых должен быть верным:
— для (13, 11) это (12, 11), (16, 11), (14, 9),(14, 13), (11, 12), (15, 12), (13, 10), (13, 14);
— для (17, 11) это (16, 11), (20, 11), (18, 9), (18, 13), (15, 12), (19, 12), (17, 10), (17, 14);
— для (14, 14) это (13, 14), (17, 14), (15, 12),(15, 16), (12, 15), (16, 15), (14, 13), (14, 17).
Осталось заметить, что только вариант (15, 12) встречается во всех трёх строчках.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Необходимо было найти все возможные ответы и доказать, что других нет. Приведен один ответ и проверено, что он не противоречит условию задачи — «∓». Переборное решение с неполным перебором — «∓».
В 1б классе каждого ребенка попросили написать два числа: количество его одноклассников и количество его одноклассниц (именно в таком порядке; сам себя ребенок не считает). Каждый ребенок одно число написал правильно, а в другом ошибся ровно на 4. Среди ответов были получены такие: (15, 18), (15, 10), (12, 13). Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?
Обозначим детей, давших ответы (15, 18), (15, 10), (12, 13) через А, Б, В соответственно. Заметим, что если в классе m мальчиков, то первое число в ответах девочек имеет ту же чётность, что и m, а в ответах мальчиков — противоположную. Следовательно, дети А и Б одного пола, а В — другого.
Вторые числа в ответах А и Б отличаются на 8, значит, они оба неправильные. Таким образом, количество одноклассников у А и Б равно 15, а количество одноклассниц — 14.
Если А и 5 — девочки, то в классе 15 мальчиков и 15 девочек. При этом у мальчика В тогда 14 одноклассников и 15 одноклассниц, и его ответ (12, 13) противоречит условию. Значит, А и Б мальчики, и в классе 16 мальчиков и 14 девочек.
Ответ: 16 мальчиков и 14 девочек.
Приведем другое решение.
Пусть какой-то ребёнок написал числа (m, d). Если бы оба числа он написал правильно, то он бы написал один из четырёх вариантов:
Тогда, если этот ребёнок — мальчик, то есть четыре варианта количества мальчиков и девочек в классе: 
и 
Аналогично, если этот ребёнок — девочка; возможные варианты в этом случае:
Таким образом, каждый из ответов даёт нам восемь вариантов, сколько мальчиков и девочек могло быть в классе, один из которых должен быть верным:
1) для (15, 18) это (12, 18), (20, 18), (16, 14), (16, 22), (11, 19), (19, 19), (15, 15), (15, 23);
2) для (15, 10) это (12, 10), (20, 12), (16, 6), (16, 14), (11, 11), (19, 11), (15, 7), (15, 15);
3) для (12, 13) это (9, 13), (17, 15), (13, 9), (13, 17), (8, 14), (16, 14), (12, 10), (12, 18).
Осталось заметить, что только вариант (16, 14) встречается во всех трёх строчках.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Необходимо было найти все возможные ответы и доказать, что других нет. Приведен один ответ и проверено, что он не противоречит условию задачи — «∓». Переборное решение с неполным перебором — «∓».
В 1в классе каждого ребенка попросили написать два числа: количество его одноклассников и количество его одноклассниц (именно в таком порядке; сам себя ребенок не считает). Каждый ребенок одно число написал правильно, а в другом ошибся ровно на 2. Среди ответов были получены такие: (12, 18), (15, 15), (11, 15). Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?
Обозначим детей, давших ответы 
через А, Б, В соответственно. Заметим, что если в классе m мальчиков, то первое число в ответах девочек имеет ту же чётность, что и m, а в ответах мальчиков — противоположную. Следовательно, дети Б и В одного пола, а А — другого.
Первые числа в ответах Б и В отличаются на 4, значит, они оба неправильные. Таким образом, количество одноклассников у Б и В равно 13, а количество одноклассниц — 15.
Если Б и В — мальчики, то в классе 14 мальчиков и 15 девочек. При этом у девочки А тогда 14 одноклассников и 14 одноклассниц, и ее ответ 
противоречит условию. Значит, Б и В девочки, и в классе 13 мальчиков и 16 девочек.
Ответ: 13 мальчиков и 16 девочек.
Приведем второе решение.
Пусть какой-то ребёнок написал числа 
Если бы оба числа он написал правильно, то он бы написал один из четырёх вариантов:
Тогда, если этот ребёнок — мальчик, то есть четыре варианта количества мальчиков и девочек в классе:
и 
Аналогично, если этот ребёнок — девочка; возможные варианты в этом случае:
Таким образом, каждый из ответов даёт нам восемь вариантов, сколько мальчиков и девочек могло быть в классе, один из которых должен быть верным:
— для — это 
— для 
— это 
—для 
— это 
Осталось заметить, что только вариант 
встречается во всех трёх строчках.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Необходимо было найти все возможные ответы и доказать, что других нет. Приведен один ответ и проверено, что он не противоречит условию задачи — «∓». Переборное решение с неполным перебором — «∓».
В 1г классе каждого ребенка попросили написать два числа: количество его одноклассников и количество его одноклассниц (именно в таком порядке; сам себя ребенок не считает). Каждый ребенок одно число написал правильно, а в другом ошибся ровно на 4. Среди ответов были получены такие: (10, 14), (13, 11), (13, 19). Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?
Обозначим детей, давших ответы 
через А, Б, В соответственно. Заметим, что если в классе m мальчиков, то первое число в ответах девочек имеет ту же чётность, что и m, а в ответах мальчиков — противоположную. Следовательно, дети Б и В одного пола, а А — другого.
Вторые числа в ответах Б и В отличаются на 8, значит, они оба неправильные. Таким образом, количество одноклассников у Б и В равно 13, а количество одноклассниц — 15.
Если Б и В — девочки, то в классе 13 мальчиков и 16 девочек. При этом у мальчика А тогда 12 одноклассников и 16 одноклассниц, и его ответ 
противоречит условию. Значит, Б и В мальчики, и в классе 14 мальчиков и 15 девочек.
Ответ: 14 мальчиков и 15 девочек.
Приведем второе решение.
Пусть какой-то ребёнок написал числа Если бы оба числа он написал правильно, то он бы написал один из четырёх вариантов:
Тогда, если этот ребёнок — мальчик, то есть четыре варианта количества мальчиков и девочек в классе:
и 
Таким образом, каждый из ответов даёт нам восемь вариантов, сколько мальчиков и девочек могло быть в классе, один из которых должен быть верным:
— для — это 
— для 
— это 
— для 
— это 
Осталось заметить, что только вариант 
встречается во всех трёх строчках.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Необходимо было найти все возможные ответы и доказать, что других нет. Приведен один ответ и проверено, что он не противоречит условию задачи — «∓». Переборное решение с неполным перебором — «∓».
При каких натуральных n > 1 найдутся n подряд идущих натуральных чисел, сумма которых равна 2016?
Предположим, что для некоторого n нашлись n подряд идущих натуральных чисел a, 
...,
сумма которых равна 2016. Тогда
или, после алгебраических преобразований,
Заметим, что n и 
имеют разную чётность. Поэтому, если n чётно, то n должно делится на 
откуда 
значит,
что противоречит 
Значит, n — нечётный делитель числа 4032, то есть делитель числа 63. Проверим, что каждый из них подходит. Тогда:
1) если 
то 
2) если 
то 
3) если 
то 
4) если 
то 
5) если 
то 
Ответ: при n, равном 3, 7, 9, 21 или 63.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
В варианте II необходимо было найти все возможности для наименьшего из чисел, написанных на доске (т. е. 1, 86, 220, 285, 671). Если вместо этого найдено только какое наименьшее значение может принимать наименьшее из чисел, написанных на доске (т. е. 1), то за задачу ставится оценка не выше «∓». Аналогично для варианта III. В случае, если неверно понят вопрос в варианте II или III, но присутствует полное решение с неполным ответом (т. е. реально найдены все возможности для наибольшего/наименьшего из чисел, но из-за неправильного понимания условия, в качестве ответа выбрано только одно из них) — «±».
Неверное доказательство того, что n нечетное (например, из того, что 
число целое делается вывод, что 2016 делится на n, а n − 1 делится на 2) — не выше «∓».
На доске написано несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел, сумма которых равна 2016. Чему может равняться наименьшее из этих чисел?
Предположим, что для некоторого n нашлись n подряд идущих натуральных чисел а, ..., сумма которых равна 2016. Тогда
или, после алгебраических преобразований,
Заметим, что n и имеют разную чётность. Поэтому, если n чётно, то n должно делится на откуда 
и
что противоречит 
Значит, n — нечётный делитель числа 4032, то есть делитель числа 63. Проверим, что каждый из них подходит, и найдём соответствующие значения a. Тогда:
1) если откуда 
2) если 
откуда
3) если 
откуда 
4) если 
откуда 
5) если 
откуда
Ответ: 1, 86, 220, 285 или 671.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
В варианте II необходимо было найти все возможности для наименьшего из чисел, написанных на доске (т. е. 1, 86, 220, 285, 671). Если вместо этого найдено только какое наименьшее значение может принимать наименьшее из чисел, написанных на доске (т. е. 1), то за задачу ставится оценка не выше «∓». Аналогично для варианта III. В случае, если неверно понят вопрос в варианте II или III, но присутствует полное решение с неполным ответом (т. е. реально найдены все возможности для наибольшего/наименьшего из чисел, но из-за неправильного понимания условия, в качестве ответа выбрано только одно из них) — «∓».
Неверное доказательство того, что n нечетное (например, из того, что число целое делается вывод, что 2016 делится на n, а n − 1 делится на 2) — не выше «∓».
На доске написано несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел, сумма которых равна 2016. Чему может равняться наибольшее из этих чисел?
Предположим, что для некоторого n нашлись n подряд идущих натуральных чисел a, 
сумма которых равна 2016 . Тогда 
или, после алгебраических преобразований,
Заметим, что n и имеют разную чётность. Поэтому, если n чётно, то n должно делится на 
откуда
Значит, n — нечётный делитель числа 4032, т. е. делитель числа 63. Проверим, что каждый из них подходит, и найдём соответствующее значение 
Если
если
если
Ответ: 63, 106, 228, 291 или 673.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
В варианте II необходимо было найти все возможности для наименьшего из чисел, написанных на доске (т. е. 1, 86, 220, 285, 671). Если вместо этого найдено только какое наименьшее значение может принимать наименьшее из чисел, написанных на доске (т. е. 1), то за задачу ставится оценка не выше «∓». Аналогично для варианта III. В случае, если неверно понят вопрос в варианте II или III, но присутствует полное решение с неполным ответом (т. е. реально найдены все возможности для наибольшего/наименьшего из чисел, но из-за неправильного понимания условия, в качестве ответа выбрано только одно из них) — «±».
Неверное доказательство того, что n нечетное (например, из того, что число целое делается вывод, что 2016 делится на n, а n − 1 делится на 2) — не выше «∓».
Сколько существует натуральных чисел n > 1, для которых найдутся n подряд идущих натуральных чисел, сумма которых равна 2016?
Предположим, что для некоторого n нашлись n подряд идущих натуральных чисел a, 
сумма которых равна 2016. Тогда
или, после алгебраических преобразований,
Заметим, что n и имеют разную чётность. Поэтому, если n чётно, то n должно делится на откуда
что противоречит
Значит, n — нечётный делитель числа 4032 , т. е. делитель числа 63. Проверим, что каждый из них подходит.
Если
если
если
если
если
или
Всего вышло пять подходящих n.
Ответ: 5.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
В варианте II необходимо было найти все возможности для наименьшего из чисел, написанных на доске (т. е. 1, 86, 220, 285, 671). Если вместо этого найдено только какое наименьшее значение может принимать наименьшее из чисел, написанных на доске (т. е. 1), то за задачу ставится оценка не выше «∓». Аналогично для варианта III. В случае, если неверно понят вопрос в варианте II или III, но присутствует полное решение с неполным ответом (т. е. реально найдены все возможности для наибольшего/наименьшего из чисел, но из-за неправильного понимания условия, в качестве ответа выбрано только одно из них) — «±».
Неверное доказательство того, что n нечетное (например, из того, что число целое делается вывод, что 2016 делится на n, а n − 1 делится на 2) — не выше «∓».
Может ли число, оканчивающееся на 222, быть нетривиальной степенью некоторого натурального числа, то есть представляться в виде xy, где x, y > 1 — натуральные числа?
Число, оканчивающееся на 2, чётно, поэтому искомое в условии основание степени x должно быть чётно. В таком случае его 
-ая
Ответ: нет, не может.
Замечено, что x должно быть чётно: 2 балла. Показано, что степень должна делиться на 4: 2 балла. Доказано, что число, оканчивающееся на 222 не может делиться на 4: 3 балла.
Найти все пары натуральных чисел x и y таких, что их наименьшее общее кратное равно 
Пусть сначала 
Заметим, что y не может делиться на x, иначе наименьшее общее кратное x и y равно y, а это меньше 
В частности, 
Далее, наименьшее общее кратное x и y делится на x и 
поэтому 
делится на x и y, а значит 
делится на y и 
делится на x. Из делимости на y следует 
что вместе с предположением влечёт 
Тогда из делимости 
на x и 
следуют делимость 4 на x и возможности 
Проверка показывает, что решением в этом случае является 
Теперь рассмотрим случай 
из делимости 
на x следует 
или 
Если 
то 
делится на y, тогда 3 делится на y и 
является решением задачи.
Если 
то y нечётно, 
Тогда 
должно делиться на значит, 
делится на 
что невозможно.
Ответ: 
или 
Только правильный ответ: с проверкой: 1 балл. Замечено, что y не может делиться на x и 
1 балл. Верно найдено только одно решение: 4 балла.
или Найти все целые числа n такие, что число 
является степенью двойки.
Пусть n удовлетворяет условию задачи, разложим
тогда оба сомножителя 
и 
тоже являются степенями двойки, как легко видеть, различными и отличными от 1 и −1 при 
Случай 
очевидно, подходит, а 
не подходит. Из чётности чисел и следует нечётность n. Сложим и и получим, что при 
число 8n, а при 
число −8n является суммой двух различных неединичных степеней двойки и делится ровно на 8. Отсюда следует, что минимальная из этих степеней, совпадающая с при или 
при 
равна 8, значит, решение задачи.
Ответ: n = 3 и 
Доказано, что и являются степенями двойки: 3 балла. Доказано, что эти степени различны и отличны от 1: 1 балл. Доказано, что n нечётно: 1 балл. Доказано, что минимальная из этих степеней, совпадающая с 
равна 8: 2 балла. Утеряно решение 
минус 2 балла.
Найти все натуральные числа n, которые можно представить в виде суммы 
для некоторых натуральных чисел x и y. Здесь (x, y) и [x, y] обозначают наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел x и y соответственно.
Если оба числа x и y.одной чётности, то все четыре слагаемых x, y, (x, y) и [x, y] имеют ту же чётность и их сумма чётна. Если они имеют разную чётность, то (x, y) нечётно, а [x, y] чётно, потому в сумме будет два чётных и два нечётных числа и она снова будет чётна. Каждое её слагаемое не меньше одного, поэтому вся сумма не меньше 4. Следовательно, ответом задачи может быть только чётное число, большее двух. С другой стороны, для произвольного чётного 
положив 
получим 
и 
откуда 
—
Ответ: все чётные числа, большие двух.
Приведем другое решение.
Если обозначить 
то 
где x1, y1 взаимно просты, значит, одно из них обязательно нечётно. Тогда
где обе скобки не меньше 2 и одна из них обязательно чётна. Следовательно, ответом задачи может быть только чётное число, большее двух. Далее всё как в первом решении.
Доказано, что сумма 
чётна: 3 балла. Доказано, что n может быть только чётным числом, большим двух: 1 балл. Доказано, что любое чётное число, большее двух, представляется в требуемом виде: 3 балла.
Можно ли расположить под числами 
те же числа, расположенные в некотором порядке так, чтобы все попарные суммы были нечетны?
Сложив все эти попарные суммы, мы, с одной стороны, получим сумму семнадцати нечетных чисел, а с другой — удвоенную сумму чисел от 1 до 17.
Ответ: нет, нельзя.
Прямоугольник 17 на 19 клеток произвольным образом разбит отрезками, идущими по линиям сетки, на меньшие прямоугольники. Доказать, что найдётся прямоугольник разбиения, все четыре расстояния (измеряемые в клетках) от каждой стороны которого до ближайшей стороны большого прямоугольника имеют одну и ту же чётность.
Приведём следующие несложные и хорошо известные факты о прямоугольниках и полосках (прямоугольниках шириной в одну клетку) из клеток, раскрашенных в шахматном порядке.
1) Полоска из чётного числа клеток содержит равное количество белых и чёрных клеток, её крайние клетки окрашены в разные цвета. Полоска из нечётного числа клеток содержит клеток одного цвета на одну больше, чем другого, её крайние клетки окрашены в один цвет — цвет большинства клеток в полоске.
2) Если одна из сторон прямоугольника имеет чётную длину в клетках, то он содержит поровну чёрных и белых клеток, среди его углов две белых и две чёрных клетки. Это следует из п. 1) и разбиения прямоугольника на полоски чётной длины. Если обе стороны прямоугольника имеют нечётную длину, то он содержит клеток одного цвета на одну больше, чем другого, четыре его угловые клетки окрашены в один цвет — цвет большинства клеток в прямоугольнике. Это следует из п. 1) и разбиения прямоугольника на полоску нечётной длины и прямоугольник с чётной стороной. Крайние клетки каждой строки и столбца такого четырёхугольника окрашены в один цвет. Перейдём к доказательству утверждения в условии. Раскрасим прямоугольник 17 на 19 в шахматном порядке так, что чёрных клеток в нём на одну больше, чем белых, тогда все его угловые клетки — чёрные. Тогда хотя бы один из прямоугольников разбиения тоже содержит чёрных клеток на одну больше, чем белых и его угловые клетки — тоже чёрные. Длины его сторон, в соответствии с п. 2) — нечётны. Сумма расстояний (в клетках) от левого края выбранного прямоугольника до левого края исходного прямоугольника 17 на 19 и от правого края выбранного прямоугольника до правого края исходного прямоугольника 17 на 19 равна разности длин горизонтальных сторон этих прямоугольников, то есть разности двух нечётных чисел, следовательно, чётна. Значит, оба расстояния имеют одинаковую чётность. Аналогично, одинаковую чётность имеют и расстояния между верхним и нижним краями выбранного и исходного прямоугольников. Наконец, соединим левые нижние клетки обоих прямоугольников последовательностью клеток в виде уголка с концами в этих клетках. Поскольку крайние клетки этого уголка имеют один цвет, он содержит нечётное число клеток, равное сумме расстояний от левого края выбранного прямоугольника до левого края исходного прямоугольника и от нижнего края выбранного прямоугольника до нижнего края исходного прямоугольника плюс ещё одну клетку. Следовательно, сумма указанных расстояний чётна, поэтому они имеют одинаковые чётности. Таким образом, все четыре расстояния между соответствующими краями выбранного и исходного прямоугольников равны, что и требовалось доказать.
Замечено, что хотя бы один из прямоугольников разбиения тоже содержит чёрных клеток на одну больше, чем белых и его угловые клетки — тоже чёрные: 1 балл. Доказано, что расстояния между краями прямоугольников в одном направлении имеют одинаковую чётность: 3 балла.
Докажите, что каждое целое число n можно представить в виде 
для некоторых натуральных чисел a, b, c.
Заметим, что 
для произвольного целого k. Если число 
чётно, то при 
положим
при 
положим 
a в случаях 
положим 
или 
Если же число 
нечётно, то при 
положим 
а при 
положим
При 
имеем 
или 
Найдены верные представления либо только для всех чётных или либо только для всех нечётных чисел: по 3 балла. Найдены верные представления только для всех натуральных чисел: 3 балла. Упущены представления для некоторого конечного количества исключительных чисел: минус 1−2−3 балла в зависимости от их числа. Нет контроля над натуральностью чисел a, b, c (то есть отличием их от 0): минус 1−2−3 балла в зависимости от числа возникающих ненатуральностей.
Доказать, что в любом 100-значном натуральном числе можно вычеркнуть одну цифру так, чтобы в получившемся 99-значном числе количество семёрок, стоящих на чётных (считая слева), позициях, было не больше количества семёрок, стоящих на нечётных, (считая слева), позициях.
Пусть количества семёрок, стоящих на нечётных (считая слева), позициях исходного и получившегося чисел равны a и 
соответственно, а количества семёрок, стоящих на их чётных (считая слева), позициях равны b и 
соответственно.
1) Пусть 
B таком случае вычёркиваем последнюю, самую правую, цифру. Номера позиций каждой цифры в исходном и получившемся числах совпадают, при вычеркивании пропала цифра с чётной позиции, поэтому 
2) Пусть 
В таком случае вычёркиваем первую, самую левую, цифру. Номера позиций каждой цифры в исходном и получившемся числах меняют чётность, при вычеркивании пропала цифра с нечётной позиции, поэтому тем более 
Верно рассмотрен только один из случаев: 1) и 2): 3 балла.
Найти все натуральные n , которые можно представить в виде суммы 
где a — минимальный делитель n, отличный от 1, и b — какой-то делитель n.
Если n нечётно, то и все его делители нечётны. поэтому правая часть равенства 
чётна — противоречие. Следовательно, n чётно и его минимальный неединичный делитель a равен 2, а 
По условию, b делит 
значит, делит и разность 
поэтому b должно быть равно одному из чисел 1, 2, 4. При этом n равно 5, 8, 20 соответственно. Первый случай не подходит ввиду нечётности, остальные два удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 8 и 20.
Доказано, что n — чётно: 1 балл. Упущено одно из решений: минус 2 балла. Только угаданы оба ответа с проверкой: 1 балл.
Наверх