РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5716 Добавить в вариант

Найдите x, если

$дробь: числитель: синус 3x умножить на косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 4x правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 7x правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс m конец дроби =0,$

где m  — данное действительное число.

Спрятать решение

Решение.

Значение x должно удовлетворять условиям:

$синус 3 x умножить на косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 4 x правая круглая скобка = минус 1, \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

$синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 7 x правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс m не равно q 0 . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Уравнение (1) эквивалентно альтернативе

1)   $синус 3 x= минус 1,$ а $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 4 x правая круглая скобка =1,$ откуда $x=k умножить на дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ и $x=l умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$ Следовательно, $6 l минус 8 k=5,$ что невозможно, левая часть четна, а правая  — нечетна.

2)   $синус 3 x=1,$ а $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 4 x правая круглая скобка = минус 1.$ Тогда $x=k умножить на дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ и $x=l умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ откуда $4 k=3 l плюс 1$ или $k минус 1=3 левая круглая скобка l минус k правая круглая скобка ,$ следовательно, $k=1 плюс 3 l$ (l  — целое): $x=2 Пи l плюс дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Подставляя это значение x в (1), получаем условие $m не равно q 2.$

Ответ: $левая фигурная скобка 2 Пи l плюс дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби : l принадлежит Z , m не равно q 2 правая фигурная скобка .$

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. Чётность / нечётность, Методы тригонометрии. Формулы произведения

Спрятать решение · Помощь