Всего: 47 1–20 | 21–40 | 41–47
Добавить в вариант
Докажите, что для любых целых чисел a и b существуют целые числа x и y такие, что 
Достаточно взять 
и 
Тогда
Что требовалось доказать.
| Содержание критерия | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 12 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему доказательства, но в результате описки или арифметической ошибки доказательство нельзя назвать корректным. | ± | 7 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении, однако, x и y не предъявлены в явном виде. | +/2 | 5 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 2 |
| Ответ верный. Решение отсутствует или неверное. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Найти все решения системы уравнений в действительных числах:
Решим задачу тремя способами.
Способ I.
1. Легко заметить, что, если одна из переменных равна 1 или −1, то остальные равны тому же самому. Отсюда получаются два очевидных решения: 
и 
и далее можно считать, что все переменные не равны 1 или −1.
2. Сложим все уравнения, сократим подобные и перенесём −3 направо, получим 
3. Перенесём в каждом уравнении 1 направо, перемножим все уравнения и сократим обе части на 
получим 
4. Вычтем в каждом уравнении из обеих частей 1, разложим левые части и представим в виде 
перемножим все уравнения и сократим обе части на 
получим 
Раскроем в последнем уравнении скобки, запишем его в виде
и заменим 
получим
5. Используя равенство
преобразуем предыдущее равенство, получим
Последнее является квадратным уравнение относительно 
не имеющим решения, ввиду отрицательности его дискриминанта.
Следовательно, исходная система не имеет решений, отличных от и 
Ответ: и
Способ II.
1) Сложим все уравнения, сократим подобные и перенесём −3 направо, получим Следовательно, модули всех x, y, z не превосходят 
модуль одной из переменных не меньше 1, а другой — не больше 1.
2) Легко заметить, что, если одна из переменных равна 1 или −1, то остальные равны тому же самому. Отсюда получаются два очевидных решения: и и далее можно считать, что все переменные не равны 1 или −1.
3) Рассмотрим функцию 
заметим, что наша система имеет вид: 
При 
имеем 
Поэтому, если 
то
что невозможно, поэтому 
Для дальнейшего отметим, что минимальное значение f(t) равно 
при 
при 
значение 
при 
значение 
4) Если все 
то 
—
то 
следовательно, ровно одна из переменных меньше −1, считаем, что 
и 
На интервале 
функция f(t) монотонно убывает, поэтому
в частности, 
В таком случае 
то есть что противоречит установленному ранее неравенству 
Следовательно, предположение о том, что одна из переменных меньше −1 приводит к противоречию. Значит, система не имеет решений, отличных от уже найденных и
Способ III.
1. Сложим все уравнения, сократим подобные и перенесём −3 направо, получим
2. Легко заметить, что, если одна из переменных равна 1 или −1, то остальные равны тому же самому. Отсюда получаются два очевидных решения: и и далее можно считать, что все переменные не равны 1 или −13. Перенесём в каждом уравнении 1 направо, перемножим все уравнения и сократим обе части на получим
4. Из пунктов 1 и 3 легко следуют равенства
и
Применим к левой части первого равенства с неотрицательным числам |x|, |y|, |z| неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
Следовательно, само неравенство должно быть равенством, что возможно только при 
Из равенства 
получаем 
что с учётом пункта 2 приводит к уже найденным решениям и
В первом решении нахождение каждого из значений
оценивается по 1 баллу, получение уравнения
оценивается в 2 балла. Доказательство неразрешимости последнего уравнения: 2 балла.
Во втором решении нахождение 
1 балл. Доказательство того, что 
1 балл. Доказательство того, что 
1 балл. Доказательство того, что 
1 балл. Доказательство того, что 
и получение противоречия: 3 балла.
В третьем решении нахождение каждого из значений 
оценивается по 1 баллу. Замечание о том, что 
и 
1 балл. Применение неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом с неотрицательным числам |x|, |y|, |z|: 2 балла. Замечено, что в неравенстве строгое равенство и что 
1 балл. Отсюда получено, что или 
1 балл.
и Решите в целых числах уравнение x + y = xy.
Наиболее изящное решение: данное равенство можно записать в следующем виде:
и 
— целые числа, то либо 
либо 
Ответ: 
и 
и Решите в натуральных числах уравнение 
Для 
подходит только 
Ответ:
Сколько решений имеет уравнение 
если под решением понимается пара целых чисел a и b? Варианты ответов:
а) ни одного;
б) одно;
в) два;
г) другой ответ.
Заметим, что либо одно из чисел 
и 
четное, либо четна их сумма, равная 
Следовательно, левая часть уравнения всегда четна, поэтому она не может равняться 2019.
Ответ: а).
Решите в целых числах уравнение 
Обозначим 
где m и n тоже являются целыми числами, тогда 
и необходимо решить уравнение
Заметим, что 
Предположим, что у нас есть два четных множителя; тогда третий тоже будет четным. Но это невозможно, поскольку 2020 не делится на 8. Значит, у нас один множитель четный и два нечетных.
Один из нечетных множителей равен 1, поскольку 
Тогда два других множителя различаются на 1. Но один из них не меньше 101, а другой не превосходит 20, поэтому так быть не может.
Ответ: решений нет.
Выясните, может ли уравнение 
иметь целые корни, если p и q целые нечетные.
Пусть 
—
и оно нечетное. Отсюда следует, что каждое из чисел 
—
— четная, а сумма 
нечетная, то число b — тоже нечетное. Но с другой стороны, число b должно быть четным, так как 
а сумма двух нечетных чисел 
— четная. Противоречие.
Ответ:
Зная, что 
решите в целых числах уравнение с двумя неизвестными 
Переменные входят в уравнение симметрично, поэтому если есть решение 
то 
тоже является решением. Далее,
Введем переменные 
и 
где 
и рассмотрим уравнение
Если есть решение 
то есть и решение 
1) Пусть один из множителей равен 1, например, 
Тогда 
и есть решения
2) Пусть один из множителей равен −1, например, 
Тогда 
и есть решения
3) Пусть нет множителей 
Тогда
откуда получаем решения
Ответ: 8 пар: 
Решите уравнение 
в целых числах.
Пусть сначала 
Тогда уравнение примет вид 
Отсюда
Пусть теперь числа x и y различны. Можно считать, что 
Положим 
Тогда
что невозможно, так как левая часть — нечетное число, превосходящее 2, а правая часть либо четна (если 
либо не превосходит 2 (если 
Ответ: (−1, −1), (2, 2).
Существуют ли целые числа x и y такие, что
Пусть 
тогда уравнение примет вид
Левая часть уравнения при делении на 3 дает остаток 2, а квадрат целого числа при делении на 3 может давать остаток или 0 или 1. Следовательно, целых k и y не существует, а значит и целого x тоже не существует.
Ответ: Нет, не существуют
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Существуют ли целые числа x и y такие, что
Пусть 
тогда уравнение примет вид
Левая часть уравнения при делении на 3 дает остаток 2, а квадрат целого числа при делении на 3 может давать остаток или 0 или 1. Следовательно, целых k и y не существует, а значит и целого x тоже не существует.
Ответ: Нет, не существуют
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите уравнение в целых числах
Рассматриваем 
Имеем:
1) 
2) 
нет решений, так как число в левой части — не целое, а в правой — целое;
3) 
нет решений, так как число в левой части оканчивается на цифру 8, а в правой части — точный квадрат.
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите уравнение 
где p и q — простые числа, а n — натуральное число.
Перепишем исходное равенство: 
Учитывая, что 
и что p — простое число, возможны следующие случаи:
1) 
2) 
B случаe 1): вычтем из второго уравнения первое. Получим равенство 
Это равносильно
Так как q простое число, то это возможно только при 
Непосредственной проверкой убеждаемся, что 
не подходит.
В случае 2): вычтем из второго уравнения первое. Получим равенство 
Это равносильно
Так как q простое число, то это возможно только при Отсюда найдём 
Ответ:
Сколько решений в натуральных числах x, y имеет уравнение 
?
Домножим уравнение на 2, прибавим к обеим частям единицу и разложим левую часть на множители, а правую — в произведение простых делителей:
Поскольку x и y — натуральные числа, каждый множитель в левой части не меньше трех, поэтому единицы в вариантах разложения на множители не может встретиться, и возможные варианты таковы:
1) 
откуда x = 1, y = 674;
2) 
откуда x = 9, y = 106;
3) 
откуда x = 35, y = 28;
Кроме того, очевидно, имеются симметричные решения:
4) x = 28, y = 35; 5) x = 106, y = 9; 6) x = 674, y = 1.
Ответ: 6.
Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
Введем переменные 
Тогда уравнение примет вид:
Выполним следующие преобразования:
Отсюда получаем:
или
Переходя к переменным (x; y), имеем:
Решая эту систему, находим:
Ответ: x = 19, y = 40.
1. Предпринята попытка введения параметров, но окончательного решения не получено — 0,5 балла.
2. Решение недостаточно обоснован — 1,5 балла.
3. Арифметическая ошибка — 1,5 балла.
4. Решена верно — 2 балла.
Решите уравнение в целых числах 
Пусть 
Исходное уравнение равносильно уравнению 
Следовательно, 
Отсюда находим y = 2, x = 1.
Пусть 
Тогда исходное уравнение равносильно уравнению 
Тогда 
где 
Следовательно, t = 0, x = 1, y = 2.
Пусть 
Заменим x = –k, y = –s. Тогда 
Получим уравнение
не имеющее решений.
Ответ: (1, 2).
Решите уравнение в целых числах 
Пусть 
Исходное уравнение равносильно уравнению 
Тогда 
где 
чего быть не может. Следовательно, 
Аналогично 
Заменим x = –k, y = –s. Тогда 
Получим равенство
Тогда k = 1, s = 2 или k = 2, s = 1.
Решить уравнение в целых числах
Обозначим 
тогда уравнение примет вид
где 
Нетрудно видеть, что в левой части последнего уравнения стоит монотонно возрастающая функция, а в правой части уравнения стоит монотонно убывающая функция. Тогда единственным корнем уравнения является t = 2023.
Следовательно, уравнение равносильно уравнению 
Так как справедливо равенство 
то уравнение имеет два решения:
а) x = 2022, y = 1;
б) x = 2022, y = –1.
Ответ: (2022; 1); (2022; −1).
1. Решена правильно и все логически объяснено — 10 баллов.
2. Потеряны корни уравнения (приведены не все 4 пары (x, y)) — 5 баллов.
3. Имеются рациональные попытки решения, но до конца она не решена — 
балла.
4. Задача не решена (или не решалась) или записан просто ответ без всякого обоснования — 0 баллов.
Найти решение уравнения в целых числах:
Избавляемся от иррациональности:
Перебором устанавливаем, что целые решения получаем при
Ответ: (5, −3), (10, 0), (0, 0), (5, 3).
1. Задача решена и дано полное объяснение — 10 баллов.
2. Задача сведена к анализу интервалов изменения переменных x и y, но допущена ошибка при переборе возможных вариантов пар (x, y) — 7 баллов.
3. Допущены арифметические ошибки при преобразованиях с радикалами — 
балла.
4. Задача не решена (или не решалась) или дан ответ без объяснений — 0 баллов.
Найти решение уравнения в натуральных числах x и y:
Имеем:
Перебором устанавливаем решения в целых числах:
В натуральных числах получаем 2 решения:
Ответ: (10, 3), (5, 6).
1. Задача решена и дано полное объяснение — 10 баллов.
2. Задача сведена к анализу интервалов изменения переменных x и y, но допущена ошибка при переборе возможных вариантов пар (x, y) — 7 баллов.
3. Допущены арифметические ошибки при преобразованиях с радикалами — балла.
4. Задача не решена (или не решалась) или дан ответ без объяснений — 0 баллов.
Наверх