Всего: 47 1–20 | 21–40 | 41–47
Добавить в вариант
Найти все целые решения уравнения 
Заметим, что левая часть уравнения имеет смысл при 
Выполним преобразование в левой части:
Следовательно, 
монотонно убывает с ростом n, а значит, рассматриваемое уравнение имеет не более одного решения. Учитывая, что 
имеем равносильное исходному уравнение 
Тогда получим:
Покажем, что найденное число является целым (натуральным). Имеем:
отсюда
Ответ: 
Решите в целых числах уравнение
Выразим из этого уравнения x :
Следовательно, число 
является делителем числа 12 и при этом 
Для числа 12 делителями являются числа ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12, но условиям, что 
в итоге будут удовлетворять:
Ответ: (15; 2), (10; −3), (−2; 1), (−5; −2).
| Критерии | Баллы |
|---|---|
| Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных ниже | 0 |
| Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении | 1 |
| Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи | 2−3 |
| Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев | 4 |
| Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений | 5−6 |
| Обоснованное решение с несущественными недочетами | 6 |
| Полное обоснованное решение | 7 |
Решите в целых числах уравнение
Преобразуем уравнение к виду:
Возможны 3 случая:
В первом случае получим уравнение
Решая его как квадратное относительно x, получим
Перебирая положительные множители числа 31, приходим к выводу, что решений в целых числах нет.
Во втором случае получим уравнение
Решая его как квадратное относительно x, получим
Перебирая положительные множители числа 24, приходим к выводу, что решений в целых числах нет.
В третьем случае получим уравнение
Решая его как квадратное относительно x, получим
Перебирая положительные множители числа 3, приходим к решениям:
1) x = 1, z = 0;
2) x = −1, z = 0. Вспоминаем, что в этом случае 
а следовательно, y = 5, y = 1. Таким образом, получаем 4 решения: (1; 5; 0), (−1; 5; 0), (1; 1; 0), (−1; 1; 0).
Ответ: (1; 5; 0), (−1; 5; 0), (1; 1; 0), (−1; 1; 0).
| Критерии | Баллы |
|---|---|
| Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных ниже | 0 |
| Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении | 1 |
| Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи | 2−3 |
| Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев | 4 |
| Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений | 5−6 |
| Обоснованное решение с несущественными недочетами | 6 |
| Полное обоснованное решение | 7 |
Найдите такие натуральные m и n, что 
Выражение 
можно представить как произведение делителей 2007:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Рассмотрим систему
Если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена (a):
если 
то 
Проверим:
следовательно, 26 является корнем уравнения, поэтому 
Найдем m :
Следовательно, искомая пара чисел это 26 и 7.
Ответ: 26 и 7.
Сколько целых корней имеет уравнение 
Пусть
По признакам делимости на 3 и на 9 число 2007 делится на 3 и на 9 , поэтому 
может быть равным либо 1, либо 3, либо 9 других возможностей нет при целых x. 
может быть равным либо 0, либо 1, либо 2.
1 случай. При 
тогда 
2 случай. При 
тогда 
3 случай. При 
тогда 
Теперь можно уверенно утверждать, что существует ровно 2 целых решения −5 и −3 .
Ответ: уравнение имеет ровно 2 целых решения: −5 и −3 .
Для каждого натурального N через P(N) обозначим число целочисленных решений уравнения 
Сколько цифр имеет десятичная запись числа
Заметим, что
Данное выражение является числом целочисленных решений неравенства
Заметим, что при любом 
и 
кроме 
т. е. решений не менее чем 
С другой стороны, если 
или 
то
значит, и т. е. решений не более чем 
Так как решений не менее чем 1000 и не более чем 10000, то ответ — четырёхзначное число. Значит,
имеет в десятичной записи 4 цифры.
Ответ: 4.
Обозначим через 
произведение двучленов 
Найдите все такие n, при которых уравнение 
имеет целый корень.
Найдём простые делители числа 2004: 2, 2, 3, 167. И последний делитель — 1 . Из разложения на множители, очевидно, что максимальное число сомножителей равно четырём. Значит, 
нет смысла рассматривать.
Случаи для n от 1 до 4 рассмотрим ниже:
a) 
б) 
Так как x — целое при проверке 
получаем 
(2)
в) 
:
При 
или любых других комбинациях, среди полученных простых множителей нет таких целых x, удовлетворяющих уравнению. Слишком большая разница между множителями также исключает возможные комбинации, следовательно, корней нет.
г) 
:
Или 3, или 2 не работает, значит, корней нет.
Ответ: уравнение имеет целый корень при n равном одному (1) или двум (2).
Наверх