Всего: 12 1–12
Добавить в вариант
и 
Плоскость 
а плоскость 
параллельна прямой 
Определите наименьший возможный угол между плоскостями 
точка 
и 
(рис. 7). Следовательно, 
Пусть S — произвольно выбранная на l точка, то из неравенства 
имеем 
Пусть ребро куба равно 1 и O — точка пересечения диагоналей ABCD. Прямая 
перпендикулярна диагонали 
и ребру 
поэтому плоскость 
перпендикулярна 
то есть совпадает с 
Плоскость β проходит через прямую 
следовательно, 
лежит на ребре двугранного угла, образованного α 
Как было показано выше, что если 
—
Следовательно, 
Покажем, что угол 
а затем построим плоскость β через m и прямую 
Тогда m будет ребром получившегося двугранного угла, а 
—
то есть наименыший возможный угол между плоскостями 
Если провести плоскость β через прямую CD и считать, что все ребра равны 1, то длина перпендикуляра, опущенного из D на 
равна 
Тогда CD — отрезок, соединяющий D и ребро двугранного угла, 
Если 
Десятигранник ABCDPQRSTUVW имеет два параллельных друг другу основания: квадрат ABCD и восьмиугольник PQRSTUVW, все углы которого равны между собой, а также восемь боковых граней: треугольники APQ, BRS, CTU, DVW и прямоугольники DAPW, ABRO, BCTS и CDVU. Известно, что площадь сечения этого десятигранника плоскостью, проходящей через точки A, S и U, равна 
Найдите расстояние между его основаниями.
Из этого вытекает, что прямые ST и WP параллельны, прямые QR и UV параллельны, прямые QR и ST перпендикулярны.
и учитывая, что 
и 
имеем 
Итак, 
то есть 
Затем, из подобия треугольников RKE и B1A1E находим 
Из треугольника UB1S получаем 
Далее, из подобия треугольников MPA1 и MWG1 вытекает 
после чего, из подобия треугольников LWZ и LVU получаем 
а угол A1HA (так как 
будет углом β между плоскостью сечения и плоскостью основания PQRSTUVW. Тогда, если обозначить искомое расстояние (длину отрезка AA1) за h, то, с одной стороны, 
находим 
Вершины A', B' и
А поскольку у этих пирамид общая высота SO, то и отношение площади треугольника ABC к площади треугольника S1S2S3 равно 
В качестве следствия получается равенство 
которое будет нами использовано.
точкой, симметричной S относительно соответствующей биссекторной плоскости будем считать S1. Тогда 
где 
откуда
то
и 
левая часть последнего равенства равна 
что позволяет найти 
Точки 
и 
— проекции вершины S правильной треугольной пирамиды SABC на биссекторные плоскости двугранных углов при рёбрах BC, AC и AB. Найдите тангенс каждого из этих углов, если объём пирамиды 
в 10 раз меньше объёма пирамиды SABC.
Боковые ребра TA, TB, и TC тетраэдра TABC попарно перпендикулярны, ребро TA наклонено к плоскости основания ABC под углом 30°. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, косинус угла AHB равен 
Найдите угол между ребром TC плоскостью ABC.
Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, угол AHB равен 
Докажем, что 
и 
то 
Сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF образовано плоскостью, проходящей через центр основания ABCDEF и параллельной медиане CM боковой грани SCD и апофеме SN боковой грани SAF, сторона основания пирамиды равна 8, а расстояние от вершины S до секущей плоскости равно 
Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
OY — средняя линия треугольника SNU.
Имеем 
Согласно теореме Фалеса, приходим к соотношениям 
Точка V — точка пересечения прямой KL и CD, 
и 
и 
Расстояние от точки C до сечения равно 
В треугольнике RCV проведем высоту CG, обозначим ее длину h. Тогда 
и 
Дана треугольная пирамида SABC, медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Сфера 
касается ребра AS в точке L и касается плоскости основания пирамиды в точке K, лежащей на отрезке AM. Сфера пересекает отрезок SM в точках P и Q. Известно, что 
площадь треугольника ABC равна 90, 
а) Найдите произведение длин медиан AA1, BB1 и CC1.
б) Найдите двугранный угол при ребре BC пирамиды, если дополнительно известно, что касается грани BCS в точке N, 
а радиус сферы равен 5.
а SP и SQ— секущие к ней, то по теореме о касательной и секущей 
Аналогично, 
а поскольку 
то 
В итоге получаем 
Так как 
как касательные к сфере 
При этом 
то есть 
Отсюда треугольник BMC прямоугольный и 
Далее имеем 
потому что N и K — точки касания сферы 
где O - центр сферы 
Далее имеем 
Так как 
как касательные к 
откуда получаем 
Из подобия треугольников A1MG и A1KH имеем 
и 
Дана треугольная пирамида SABC, медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Сфера касается ребра AS в точке L и касается плоскости основания пирамиды в точке K, лежащей на отрезке AM. Сфера пересекает отрезок SM в точках P и Q. Известно, что площадь треугольника ABC равна 60, 
а) Найдите произведение длин медиан AA1, BB1 и CC1.
б) Найдите двугранный угол при ребре BC пирамиды, если дополнительно известно, что касается грани BCS в точке N, 
а радиус сферы равен 4.
считая от вершины, то 
Кроме того, 
При этом 
то есть 
проекции точек M и K на прямую BC соответственно. Заметим, что 
BC, потому что N и K - точки касания сферы 
Так как 
как касательные к 
откуда получаем 
Из подобия треугольников 
и 
имеем 
и 
Дана треугольная пирамида SABC, медианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Сфера касается ребра AS в точке L и касается плоскости основания пирамиды в точке K, лежащей на отрезке AM. Сфера пересекает отрезок SM в точках P и Q. Известно, что площадь треугольника ABC равна 100, 
а) Найдите произведение длин медиан AA1, BB1, CC1.
б) Найдите двугранный угол при ребре BC пирамиды, если дополнительно известно, что касается грани BCS в точке N, а радиус сферы равен 5.
Кроме того, 
При этом 
то есть 
Так как 
откуда получаем 
12. Из подобия треугольников 
и 
Дана треугольная пирамида SABC, медианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Сфера касается ребра AS в точке L и касается плоскости основания пирамиды в точке K, лежащей на отрезке AM. Сфера пересекает отрезок SM в точках P и Q. Известно, что площадь треугольника ABC равна 180, 
а) Найдите произведение длин медиан AA1, BB1, CC1.
б) Найдите двугранный угол при ребре BC пирамиды, если дополнительно известно, что касается грани BCS в точке N, 
а радиус сферы равен 8.
Кроме того, 
При этом 
то есть 
Так как 
как касательные к 
откуда получаем 
Окончательно, 
и 
и 
Найдите тангенс угла между плоскостями PQR и ABC.
поэтому 
и 
Поэтому искомый угол равен углу PLA и 