Точки 
и 
— проекции вершины S правильной треугольной пирамиды SABC на биссекторные плоскости двугранных углов при рёбрах BC, AC и AB. Найдите тангенс каждого из этих углов, если объём пирамиды 
в 10 раз меньше объёма пирамиды SABC.
Точки S1, S2 и S3 симметричные S относительно биссекторных плоскостей, лежат в плоскости ABC. А поскольку тройка этих биссекторных плоскостей переходит в себя при повороте на 60° вокруг оси пирамиды, то этим свойством обладает и тройка точек S1, S2, S3. Следовательно, треугольник S1S2S3 — правильный, и его центр, который мы обозначим через O, совпадает с центром треугольника ABC.
Заметим, далее, что пирамида SS1S2S3 — образ пирамиды при гомотетии с центром S и коэффициентом 2. С учётом условия задачи это означает, что отношение объёмов пирамид SABC и SS1S2S3 равно
А поскольку у этих пирамид общая высота SO, то и отношение площади треугольника ABC к площади треугольника S1S2S3 равно 5 : 4. В качестве следствия получается равенство 
которое будет нами использовано.
Обозначив величину двугранного ребра при ребре BC через 
точкой, симметричной S относительно соответствующей биссекторной плоскости будем считать S1. Тогда 
где P — середина ребра BC; треугольник SPS1 равнобедренный 
откуда
А поскольку 
то
и 
При 
левая часть последнего равенства равна 
что позволяет найти
Ответ: 
