Десятигранник ABCDPQRSTUVW имеет два параллельных друг другу основания: квадрат ABCD и восьмиугольник PQRSTUVW, все углы которого равны между собой, а также восемь боковых граней: треугольники APQ, BRS, CTU, DVW и прямоугольники DAPW, ABRO, BCTS и CDVU. Известно, что площадь сечения этого десятигранника плоскостью, проходящей через точки A, S и U, равна Найдите расстояние между его основаниями.
Процедура построения сечения десятигранника плоскостью ASU состоит из двух шагов:
1) Отмечаем точку K пересечения прямых SU и QR, точку $L$ пересечения прямых SU и WV и точку M пересечения прямых SU и PW;
2) Проводим прямую AM, точку ее пересечения с ребром DW обозначим G, проводим прямую GL; точку ее пересечения с ребром DV обозначим F, проводим прямую AK, точку ее пересечения с ребром BR обозначим E.
Шестиугольник AESUFG и будет сечением.
Поскольку, по условию, ABCD — квадрат, а DAPW, ABRQ, BCTS и CDVU прямоугольники, то
Кроме того, величины всех углов восьмиугольника PQRSTUVW равны между собой, поэтому, по теореме о сумме величин углов многоугольника, они равны Из этого вытекает, что прямые ST и WP параллельны, прямые QR и UV параллельны, прямые QR и ST перпендикулярны.
Это означает, что четырехугольник IJXY, образованный прямыми QR, ST, UV
откуда находим
то есть IJXY квадрат. Далее, рассмотрим точки A1, B1, C1 и D1, являющиеся ортогональными проекциями точек A, B, C и D на плоскость PQRSTUVW соответственно. По теореме о трех перпендикулярах,
Поскольку A1B1C1D1 тоже квадрат, то точки Q, A1, D1, V лежат на одной прямой, из чего следует Итак, то есть
Обозначив ортогональные проекции точек E, F и G на плоскость PQRSTUVW буквами E1, F1 и G1 соответственно, получаем чертеж.
Мы знаем, что
Из вышеприведенных рассуждений следует, что длины всех отрезков A1P, A1Q, B1R, B1S, C1T, C1U, D1V и D1W тоже равны 1.
Из подобия треугольников UB1S и URK имеем
откуда Затем, из подобия треугольников RKE и B1A1E находим
Пусть Из треугольника UB1S получаем
и из треугольника MPS имеем Далее, из подобия треугольников MPA1 и MWG1 вытекает
Из треугольника MWZ находим после чего, из подобия треугольников LWZ и LVU получаем
Наконец, записывая теорему Менелая для треугольника WD1V и секущей G1F1, имеем
Теперь можно вычислить площадь S* ортогональной проекции A1E1SUF1G1 построенного сечения на плоскость PQRSTUVW:
Опустим на прямую SU перпендикуляр A1H. Его длина равна а угол A1HA (так как будет углом β между плоскостью сечения и плоскостью основания PQRSTUVW. Тогда, если обозначить искомое расстояние (длину отрезка AA1) за h, то, с одной стороны,
и, с другой стороны,
Решая уравнение находим
Ответ: