сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Де­ся­ти­гран­ник ABCDPQRSTUVW имеет два па­рал­лель­ных друг другу ос­но­ва­ния: квад­рат ABCD и вось­ми­уголь­ник PQRSTUVW, все углы ко­то­ро­го равны между собой, а также во­семь бо­ко­вых гра­ней: тре­уголь­ни­ки APQ, BRS, CTU, DVW и пря­мо­уголь­ни­ки DAPW, ABRO, BCTS и CDVU. Из­вест­но, что пло­щадь се­че­ния этого де­ся­ти­гран­ни­ка плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, S и U, равна  дробь: чис­ли­тель: 143, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби , |AB|=1, |PQ|= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те рас­сто­я­ние между его ос­но­ва­ни­я­ми.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­це­ду­ра по­стро­е­ния се­че­ния де­ся­ти­гран­ни­ка плос­ко­стью ASU со­сто­ит из двух шагов:

1)  От­ме­ча­ем точку K пе­ре­се­че­ния пря­мых SU и QR, точку $L$ пе­ре­се­че­ния пря­мых SU и WV и точку M пе­ре­се­че­ния пря­мых SU и PW;

2)  Про­во­дим пря­мую AM, точку ее пе­ре­се­че­ния с реб­ром DW обо­зна­чим G, про­во­дим пря­мую GL; точку ее пе­ре­се­че­ния с реб­ром DV обо­зна­чим F, про­во­дим пря­мую AK, точку ее пе­ре­се­че­ния с реб­ром BR обо­зна­чим E.

Ше­сти­уголь­ник AESUFG и будет се­че­ни­ем.

По­сколь­ку, по усло­вию, ABCD  — квад­рат, а DAPW, ABRQ, BCTS и CDVU пря­мо­уголь­ни­ки, то

|Q R|=|S T|=|U V|=|W P|=1 .

Кроме того, ве­ли­чи­ны всех углов вось­ми­уголь­ни­ка PQRSTUVW равны между собой, по­это­му, по тео­ре­ме о сумме ве­ли­чин углов мно­го­уголь­ни­ка, они равны  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Из этого вы­те­ка­ет, что пря­мые ST и WP па­рал­лель­ны, пря­мые QR и UV па­рал­лель­ны, пря­мые QR и ST пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Это озна­ча­ет, что че­ты­рех­уголь­ник IJXY, об­ра­зо­ван­ный пря­мы­ми QR, ST, UV и WP  — пря­мо­уголь­ник. Ясно, что тре­уголь­ни­ки PIQ, RJS, TXU и WYP пря­мо­уголь­ные и рав­но­бед­рен­ные. Обо­зна­чив |P I|=|I Q|=a, |R J|=|J S|=b, |T X|=|X U|=c, |V Y|=|Y W|=d, и учи­ты­вая, что |I J|=|X Y| и |J X|=|I Y|, имеем

 си­сте­ма вы­ра­же­ний a плюс 1 плюс b = c плюс 1 плюс d,b плюс 1 плюс c = d плюс 1 плюс a конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a=c, b=d, конец си­сте­мы .

от­ку­да на­хо­дим

|I J|=a плюс 1 плюс b=|J X|=b плюс 1 плюс c,

то есть IJXY квад­рат. Далее, рас­смот­рим точки A1, B1, C1 и D1, яв­ля­ю­щи­е­ся ор­то­го­наль­ны­ми про­ек­ци­я­ми точек A, B, C и D на плос­кость PQRSTUVW со­от­вет­ствен­но. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, Q A_1 \perp Q R, P A_1 \perp P W, S B_1 \perp S T,  R B_1 \perp Q R_1 U C_1 \perp U V,  T C_1 \perp S T,  W D_1 \perp P W,  V D_1 \perp U V.

По­сколь­ку A1B1C1D1 тоже квад­рат, то точки Q, A1, D1, V лежат на одной пря­мой, из чего сле­ду­ет a=|I Q|=|V Y|=d . Итак, a=b=c=d, то есть

|P Q|=|O Q|=|S T|=|U V|.

Обо­зна­чив ор­то­го­наль­ные про­ек­ции точек E, F и G на плос­кость PQRSTUVW бук­ва­ми E1, F1 и G1 со­от­вет­ствен­но, по­лу­ча­ем чер­теж.

Мы знаем, что

|A B|=\left|A_1 B_1|=1, \quad |P Q|= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , \quad \left|A_1 P|= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби |P Q|=1.

Из вы­ше­при­ве­ден­ных рас­суж­де­ний сле­ду­ет, что длины всех от­рез­ков A1P, A1Q, B1R, B1S, C1T, C1U, D1V и D1W тоже равны 1.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков UB1S и URK имеем

|R K|:\left|B_1 S|=|R U|:\left|B_1 U|= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

от­ку­да |R K|= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Затем, из по­до­бия тре­уголь­ни­ков RKE и B1A1E на­хо­дим

 дробь: чис­ли­тель: \left|R E_1|, зна­ме­на­тель: \left|E_1 B_1| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: |R K|, зна­ме­на­тель: \left|A_1 B_1| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;\left|R E_1| плюс \left|E_1 B_1|=1 \Rightarrow \left|E_1 B_1|= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Пусть \widehatP S M= альфа . Из тре­уголь­ни­ка UB1S по­лу­ча­ем

 тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: \left|B_1 U|, зна­ме­на­тель: \left|B_1 S| конец дроби =2,

и из тре­уголь­ни­ка MPS имеем |P M|=|P S| тан­генс альфа =6. Далее, из по­до­бия тре­уголь­ни­ков MPA1 и MWG1 вы­те­ка­ет

 дробь: чис­ли­тель: \left|A_1 P|, зна­ме­на­тель: \left|G_1 W| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: |P M|, зна­ме­на­тель: |W M| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби \Rightarrow \left|G_1 W|= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , \quad\left|D_1 G_1|=\left|D_1 W| минус \left|G_1 W|= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Из тре­уголь­ни­ка MWZ на­хо­дим |W Z|= дробь: чис­ли­тель: |M W|, зна­ме­на­тель: тан­генс альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , после чего, из по­до­бия тре­уголь­ни­ков LWZ и LVU по­лу­ча­ем

 дробь: чис­ли­тель: |W L|, зна­ме­на­тель: |V L| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: |W Z|, зна­ме­на­тель: |V U| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

На­ко­нец, за­пи­сы­вая тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка WD1V и се­ку­щей G1F1, имеем

 дробь: чис­ли­тель: \left|V F_1|, зна­ме­на­тель: \left|F_1 D_1| конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: \left|D_1 G_1|, зна­ме­на­тель: \left|G_1 W| конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: |W L|, зна­ме­на­тель: |V L| конец дроби =1 \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: \left|V F_1|, зна­ме­на­тель: \left|F_1 D_1| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби =2 \Rightarrow \left|F_1 D_1|= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \left|V D_1|= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Те­перь можно вы­чис­лить пло­щадь S* ор­то­го­наль­ной про­ек­ции A1E1SUF1G1 по­стро­ен­но­го се­че­ния на плос­кость PQRSTUVW:

 \left|A_1 F_1|=1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; \quad \left|E_1 U|=2 плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ;

S_A_1 F_1 G_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ; \quad S_A_1 E_1 U F_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 28, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби ;

S_E_1 U S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; \quad S в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка =S_A_1 F_1 G_1 плюс S_A_1 E_1 U F_1 плюс S_E_1 U S= дробь: чис­ли­тель: 143, зна­ме­на­тель: 45 конец дроби .

Опу­стим на пря­мую SU пер­пен­ди­ку­ляр A1H. Его длина равна \left|A_1 S| синус альфа = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , а угол A1HA (так как A A_1 \perp P Q R S T U V W пра­вая круг­лая скоб­ка будет углом β между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния PQRSTUVW. Тогда, если обо­зна­чить ис­ко­мое рас­сто­я­ние (длину от­рез­ка AA1) за h, то, с одной сто­ро­ны,

 ко­си­нус бета = дробь: чис­ли­тель: S в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: S_\text се­че­ния конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 143, зна­ме­на­тель: 45 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 143, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ,

и, с дру­гой сто­ро­ны,

 ко­си­нус бета = дробь: чис­ли­тель: \left|A_1 H|, зна­ме­на­тель: |A H| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \left|A_1 H|, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс \left|A_1 пра­вая круг­лая скоб­ка H| в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 h в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 16 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Решая урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 h в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 16 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , на­хо­дим h= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ:  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .