Дана треугольная пирамида SABC, медианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Сфера касается ребра AS в точке L и касается плоскости основания пирамиды в точке K, лежащей на отрезке AM. Сфера пересекает отрезок SM в точках P и Q. Известно, что площадь треугольника ABC равна 180,
а) Найдите произведение длин медиан AA1, BB1, CC1.
б) Найдите двугранный угол при ребре BC пирамиды, если дополнительно известно, что касается грани BCS в точке N, а радиус сферы равен 8.
а) Поскольку SL — касательная к сфере а SP и SQ — секущие к ней, то по теореме о касательной и секущей Аналогично, а поскольку то В итоге получаем
то есть Так как как касательные к сфере проведённые из точки A, то
а поскольку медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении считая от вершины, то Кроме того, При этом то есть Отсюда треугольник BMC прямоугольный и Далее имеем
откуда
б) Пусть G и H — проекции точек M и K на прямую BC соответственно. Заметим, что BC, потому что N и K — точки касания сферы со сторонами двугранного угла пирамиды при ребре BC. Поэтому искомый угол равен где O — центр сферы Далее имеем
откуда Так как как касательные к то откуда получаем 16. Из подобия треугольников и имеем Окончательно, и
Ответ: а) 8100; б)