сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Се­че­ние пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCDEF об­ра­зо­ва­но плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через центр ос­но­ва­ния ABCDEF и па­рал­лель­ной ме­ди­а­не CM бо­ко­вой грани SCD и апо­фе­ме SN бо­ко­вой грани SAF, сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 8, а рас­сто­я­ние от вер­ши­ны S до се­ку­щей плос­ко­сти равно 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

В плос­ко­сти SNU (SU  — апо­фе­ма грани SCD) через точку O про­ве­дем пря­мую OY, па­рал­лель­ную SN, Y при­над­ле­жит S U, OY  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SNU.

В плос­ко­сти SCD через точку Y про­ве­дем пря­мую KL, па­рал­лель­ную CM, K при­над­ле­жит S D, L при­над­ле­жит S C.

Ме­ди­а­ны SU и CM тре­уголь­ни­ка SCD в точке пе­ре­се­че­ния W де­лят­ся в от­но­ше­нии 2:1, то есть  дробь: чис­ли­тель: SW, зна­ме­на­тель: WU конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби . Имеем  дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: SY, зна­ме­на­тель: YW конец дроби , зна­ме­на­тель: WU конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Со­глас­но тео­ре­ме Фа­ле­са, при­хо­дим к со­от­но­ше­ни­ям  дробь: чис­ли­тель: SL, зна­ме­на­тель: LC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: SK, зна­ме­на­тель: KD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Точка V  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой KL и CD,  дробь: чис­ли­тель: KM, зна­ме­на­тель: MD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: VC, зна­ме­на­тель: CD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

В плос­ко­сти ос­но­ва­ния про­ве­дем пря­мую VO, точки R и T  — точки пе­ре­се­че­ния со сто­ро­на­ми BC и FE со­от­вет­ствен­но. Тре­уголь­ни­ки RCV и ODV по­доб­ны,  дробь: чис­ли­тель: SL, зна­ме­на­тель: LC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: SK, зна­ме­на­тель: KD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Обо­зна­чим сто­ро­ну ос­но­ва­ния a, тогда RC = FT = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби и BR = TE = 4 дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Пусть φ  — угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Обо­зна­чим рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти се­че­ния d, d = 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец ар­гу­мен­та . Рас­сто­я­ние от точки C до се­че­ния равно  дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . В тре­уголь­ни­ке RCV про­ве­дем вы­со­ту CG, обо­зна­чим ее длину h. Тогда  синус фи = дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 3 h конец дроби и  ко­си­нус \varphi= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9 h в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Най­дем RV по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

 R V в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 25 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 21 a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 400 конец дроби \Rightarrow R V= дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Ис­поль­зуя раз­лич­ные фор­му­лы для на­хож­де­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка RCV, имеем

 дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби h= дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , h= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Тогда

 ко­си­нус \varphi = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9 h в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 28 d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9 a в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 a в квад­ра­те минус 28 d в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 a конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 28 умно­жить на 9 умно­жить на 13, зна­ме­на­тель: 9 умно­жить на 64 умно­жить на 7 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рииБаллы
Не вы­пол­нен ни один пункт, при­ве­ден­ный ниже, и/или про­сто за­пи­сан вер­ный ответ0
Верно по­стро­е­но се­че­ние с пол­ным опи­са­ни­ем по­стро­е­ния5
Най­де­ны не­об­хо­ди­мые для ре­ше­ния за­да­чи от­но­ше­ния, в ко­то­рых плос­кость се­че­ния делит ребра пи­ра­ми­ды. Уста­нов­ле­на связь рас­сто­я­ния от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды до плос­ко­сти се­че­ния с углом между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды10
При вер­ных рас­суж­де­ни­ях до­пу­ще­на одна вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка15
При­ве­де­но пол­но­стью обос­но­ван­ное ре­ше­ние, по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты20

Аналоги к заданию № 9692: 9698 Все