Дана треугольная пирамида SABC, медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Сфера 
касается ребра AS в точке L и касается плоскости основания пирамиды в точке K, лежащей на отрезке AM. Сфера пересекает отрезок SM в точках P и Q. Известно, что 
площадь треугольника ABC равна 60, 
а) Найдите произведение длин медиан AA1, BB1 и CC1.
б) Найдите двугранный угол при ребре BC пирамиды, если дополнительно известно, что касается грани BCS в точке N, 
а радиус сферы равен 4.
а) Поскольку SL — касательная к сфере 
а SP и SQ — секущие к ней, то по теореме о касательной и секущей 
Аналогично, 
а поскольку 
то 
В итоге получаем
то есть 
Так как 
как касательные к сфере проведённые из точки A, то
а поскольку медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 
считая от вершины, то 
Кроме того, 
При этом 
то есть 
Отсюда треугольник BMC прямоугольный и 
Далее имеем
откуда 
б) Пусть G и 
проекции точек M и K на прямую BC соответственно. Заметим, что 
BC, потому что N и K - точки касания сферы со сторонами двугранного угла пирамиды при ребре BC. Поэтому искомый угол равен 
где O — центр сферы 
Далее имеем
откуда 
Так как 
как касательные к то 
откуда получаем 
Из подобия треугольников 
и 
имеем
Окончательно, 
и 