PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Вычислите 
Решите систему 
Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник и найдите отношение его площади к площади исходного треугольника.
В десятичной записи двух натуральных чисел участвуют только цифры 1, 4, 6 и 9. Может ли одно из них быть ровно в 17 раз больше другого?
Какое из двух чисел больше, 
или 
или 
При каких значениях a уравнение 
имеет ровно 8 решений?
На доске выписано 450-значное число 
В нем вычеркнули все цифры, стоявшие на нечетных местах. Затем в получившемся числе опять вычеркнули цифры на нечетных местах, и т. д. Какая цифра будет вычеркнута последней?
Квадрат 
называется магическим, если в его клетках числа от 1 до 9 расставлены таким образом, что суммы чисел во всех строках, столбцах и диагоналях равны друг другу. Докажите, что в средней клетке любого такого магического квадрата стоит одно и то же число. Сколько всего существует таких квадратов?
В вершинах 100-угольника расставлены числа, причем каждое из них равно среднему арифметическому его соседей. Докажите, что все они равны между собой.
В клетках бесконечной доски расставлены натуральные числа так, что для любых пяти клеток, расположенных в форме креста, центральное число есть среднее арифметическое четырех других. Докажите, что во всех клетках доски стоит одно и то же число. Верно ли это утверждение, если предполагается, что числа являются целыми?
тогда 
то 
и 
или 
Далее, отрезок MD равен и параллелен отрезку AK, поэтому 
и треугольник BDK составлен из медиан исходного треугольника ABC. Кроме того, 
т. е. эти векторы образуют треугольник.
Поскольку 
то 
и т. д., 
и 
равна единице, если 
Таким образом, 
и график функции 
должен пересекать лишь четыре из бесконечного набора прямых 
то есть 
Построив графики (см. рис.), заключаем, что 
-м месте в исходном числе. Поскольку 
то она стоит четвертой в двадцать девятом наборе 123456789.
Далее, сложив все числа, стоящие на отрезках, проходящих через центральный квадрат, получим: 
значит, 
Повторяя это рассуждения, получим, что все числа равны.
стоящее в квадрате с координатами 
равно 
то выполнены условия задачи.