Всего: 496 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
Ожерелье состоит из 80 бусинок красного, синего и зеленого цвета. Известно, что на любом участке ожерелья меду двумя синими бусинками есть хотя бы одна красная, на любом участке ожерелья между двумя красными есть хотя бы одна зеленая. Какое наименьшее количество зелёных бусинок может быть в этом ожерелье? (Бусинки в ожерелье располоены циклически, то есть последняя соседствует с первой.)
то есть их по крайней мере 27. Приведем при мер ожерелья, содержащего ровно 27 зеленых бусинок: 
где a, k, m, n — неотрицательные целые числа, причем 
-м
По условию 
положительно и делится на 43. Кроме того, 
иначе 
Поэтому 
и пара 
принимает значения (0, 43), (1, 30), (2, 17), (3, 4). В первом случае число разрядов равно 
откуда 
Тогда 
а исходное число равно 
откуда 
Тогда 
а исходными числами будут 
Найдите максимальное значение выражения 
справедливо
Внутри угла раствора 30° с вершиной A выбрана точка K, расстояния от которой до сторон угла равны 1 и 2. Через точку К проводятся всевозможные прямые, пересекающие стороны угла. Найдите минимальный периметр треугольника, отсекаемого прямой от угла.
(см. верхний рисунок). Обозначим через p периметр треугольника, отсекаемого от угла касательной к 
в точке K. Тогда 
и 
Построим окружность ω. Обозначим через O точку пересечения биссектрисы угла с прямой, проходящей через K пар аллельно AT (см. нижний рисунок). Пусть M и N — проекции точки O на лучи AS и AT, L — проекция K на OM. Тогда 
поскольку 
Значит, O — центр искомой окружности ω. По доказанному выше 
В клетках таблицы 80 × 80 расставлены попарно различные натуральные числа. Каждое из них либо простое, либо является произведением двух простых чисел (возможно, совпадающих). Известно, что для любого числа а из таблицы в одной строке или в одном столбце с ним найдется такое число b, что а и b не являются взаимно простыми. Какое наибольшее количество простых чисел может быть в таблนце?
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Высоты у конусов одинаковые, а радиусы их оснований
и 
треугольник O1O2O3 является прямоугольным. В силу условия точка C равноудалена от точек касания оснований конусов. Тогда C лежит на пересечении биссектрис треугольника O1O2O3 и, значит, является центром его вписанной окружности, радиус которой равен 1. Вычисляя 
и 
двумя способами, мы получим 
B силу равенства высот конусов справедливо соотношение 
Поэтому 
Исключая 
мы получим 
На острове живут два племени: племя рыцарей, которые всегда говорят правду, и племя лжецов, которые всегда лгут. На главный праздник за большим круглым столом разместились 2017 островитян. Каждый житель острова произнес фразу: «мои соседи из одного племени». Оказалось, что двое лжецов ошиблись и случайно сказали правду. Сколько лжецов может сидеть за этим столом?
останется проверить неравенство 
и 
проведены биссектрисы AA1 и BB1. Докажите, что 
и 
Тогда 
Тогда 
Треугольники AB1I и AKI равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
и, значит, 
и 
имеет два целых корня. Докажите, что 
в противном случае все уже доказано. Поскольку у трехчлена целые корни, его дискриминант 
является точным квадратом, то есть
и k имеют одинаковую четность. Из соотношения 
и четно, поэтому 
Следовательно, 
то 
В случае когда обе скобки положительны, одно из чисел a и b равно 2, а второе не 
то 
поскольку числа 
и k одной четности, а 
Если одна из скобок отрицательна (пусть для определенности первая), то 
и 
Следовательно, 
что невозможно (при 
это очевидно, а если 
то 
и первый множитель отрицателен, а второй положителен).В каждой клетке доски 2017 × 2017 лежит фишка. За одну операцию можно снять с доски фишку, у которой ненулевое четное число соседей (соседними считаются фишки, расположенные в клетках, примыкающих друг к другу по стороне или углу). Какое наименьшее количество фишек можно оставить на доске с помощью таких операций?
хорошим, если 
также является делителем n. Найдите все натуральные n, у которых не менее половины делителей являются хорошими.
также делитель n. Но числа d и 
и, в частности, 
Стало быть, 
Таким образом, все хорошие делители меньше, 
также будет делителем числа n, причем не более чем одно из чисел в этой 
следовательно, оно хорошее и 2 также является делителем n. Продолжая рассуждение, далее получим, что все числа от 1 до 
являются делителями n. Заметим, что 
подходит. Если же n имеет хотя бы три делителя, то n делится на k, 
и 
а, значит, и 
и, значит, 
Осталось проверить числа 
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. В комнате собралось 15 островитян. Каждый из находящихся в комнате произнес две фразы: «Среди моих знакомых в этой комнате ровно шесть лжецов» и «среди моих знакомых в этой комнате не более семи рыцарей». Сколько рыцарей может быть в этой комнате?
Предположим, что рыцарей ровно 8. Тогда в комнате 7 лжецов и у каждого из них более 7 знакомых рыцарей. Поэтому каждый из них знаком со всеми находящимися в комнате рыцарями. Значит, и каждый рыцарь знаком со всеми находящимися в комнате лжецами, то есть у него 7 знакомых лжецов. Но тогда он сказал неправду. Поэтому 8 рыцарей быть не может. Стало быть, в комнате 9 рыцарей. Такая ситуация возможна, если каждый рыцарь знает каждого лжеца, а больше никто ни с кем не знаком.
Поэтому далее мы будем считать, что любая из скобок по модулю не превосходит 2. Отметим на прямой числа a1, a2, ..., a7. Пусть aj — наименьшее из них, а ak — наибольшее. Тогда 
— длина отрезка, соединяющего точки ai и 
Пусть для определенности 
Тогда 
На стороне AB треугольника ABC отмечена точка O. Окружность ω с центром в точке O пересекает отрезки AO и OB в точках K и L соответственно и касается сторон AC и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что точка пересечения отрезков KN
и общую гипотенузу OC, поэтому они равны и, в частности, 
Таким образом, 
Поскольку в четырехугольнике QPNL противоположные углы PNL и PQL прямые, он является вписанным. Следовательно, 
Но угол PLN опирается на дугу MN, поэтому он равен половине этой дуги, т. е. половине угла MON. Таким образом, 
и прямая CQ перпендикулярна AB. Таким образом, точка Q совпадает с точкой H и P лежит на CH. А это и требовалось доказать.
Пусть отрезки KN и LM пересекаются в точке P, а Q — точка пересечения прямых CP и AB. Поскольку CM и CN — отрезки касательных от точки C до точек касания, 
и, значит, треугольник CMN равнобедренный. Тогда 
Это центральный угол, опирающийся на дугу 
значит, вписанный угол MKP равен его половине. Таким образом, 
Поскольку CN — касательная к окружности, 
из равнобедренности треугольника NCP. Таким образом, 
и, значит, четырехугольник PQLN вписанный. Но тогда
не имеет рациональных решений.
для которого 
Ясно, что числа 
различны. Покажем, что числа a, b и c рациональны. Поскольку 
рационально при всех различных k и n. Тогда число 
где дробь 
несократима. Тогда 
на число q должно делиться s2, а, значит, и s. Пусть 
тогда 
строках. Поскольку в каждой из них ладей не более двух, всего ладей не более 
не более одной, поэтому всего их не более 
ладей. Будем считать общее количество занятых строк и столбцов (для удобства назовем их линиями). Каждая одиночная ладья занимает свою строку и свой столбец, т. е. две линии. Каждая пара ладей занимает три своих линии. Следовательно, всего занято 
линий. Таким образом, 
Поэтому 
делится на r, число 
также делится на r. Отметим, что 
Аналогично 
Стало быть, 
или, что тоже самое, 
Если 
то 
и 
и такие числа заведомо не подходят. Стало быть, 
Если 
то 
и такие числа также не подходят. Поэтому 
Если 
то 
и эта тройка вновь не подходит. Таким образом, 
и 
Тогда 
делится на 
значит, 
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На празднике по случаю открытия нового футбольного сезона за круглым столом разместились 50 футбольных фанатов: 25 болельщиков команды «Суперорлы» и 25 болельщиков команды «Суперльвы». Каждый из них заявил: «справа от меня фанат «Суперорлов». Могло ли среди фанатов «Суперорлов» и фанатов «Суперльвов» быть поровну лжецов?
Всего: 496 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
и 
Тогда 
и 
Следовательно, 