Всего: 496 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
А поскольку еще и 
прямые AP и OD перпендикулярны. Кроме того, DO — биссектриса угла ADC. Тогда DO и DE перпендикулярны как биссектрисы внешнего и внутреннего углов. Пусть Q — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда 
и, значит, OQ — высота равнобедренного треугольника 
с углом 120°. Тогда 
и, значит, 
C другой стороны OQ — средняя линия треугольника BDF. Поэтому 
и 
Поскольку треугольник ODE прямоугольный, F — середина его гипотенузы. Таким образом, 
делится на 
Докажите, что НОК (a, b) является точным квадратом. (НОК — наименьшее общее кратное).
и 
Тогда числа a1 и b1 взаимно просты, 
на 
влечет делимость числа 
и, в частности, делимость на d. Следовательно, a1b1 делится на d. Заметим, что n делится на a1 и, значит, 
делится на a1. Но поскольку числа a1 и b1 взаимно просты, d делится на a1. Аналогично проверяется, что d делится на b1. Снова используя взаимную простоту чисел a1 и b1, получаем, что d делится на a1b1. Таким образом, 
Стало быть, 
имеет ровно три решения. Сколько решений имеет уравнение 
имеет больше корней, чем уравнение 
и меньше корней, чем уравнение 
Ясно также, что никакие два уравнения не имеют общих корней. Тогда уравнение 
имеет ровно два корня, а уравнение 
корней не имеет. Стало быть, уравнение 
подходит. Разобьем числа от 1 до 2016 на 12 групп: 
Тогда 
и 
Докажите неравенство
поскольку эти строки разбиваются на 100 таких прямоугольников. Аналогичный вывод можно сделать про любые четыре соседние строки.
Противоречие.Трапеция ABCD (сторона AB параллельна стороне CD) вписана в окружность ω. На луче DC за точкой C отмечена такая
и 
Поскольку треугольник BCE равнобедренный, 
Таким образом, 
и точка A лежит на серединном перпендикуляре к CF. Обозначим точку его пересечения с окружностью ω через O. Тогда точки A и O диаметрально противоположны и, значит, 
Поскольку треугольник BCE равнобедренный, точка B лежит на серединном перпендикуляре к 
Но 
перпендикулярно 
а, значит, и CE. Следовательно, O также лежит на серединном перпендикуляре к CE. Итак, точка O лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам CE и CF. Стало быть, она является центром описанной окружности треугольника CEF.
Тогда 
делится на 13, то есть 
для некоторого целого k и 
Ожерелье состоит из 30 синих и некоторого количества красных бусинок. Известно, что с двух сторон от каждой синей бусинки находятся разноцветные бусинки, через одну от каждой красной — также разноцветные бусинки. Сколько красных бусинок может быть в этом ожерелье? (Бусинки в ожерелье расположены циклически, то есть последняя соседствует с первой.)
Ясно, что 
поскольку средняя из пяти последовательных красных бусинок не удовлетворяет условию задачи. При 
возможны три ситуации: 
где a — десятичная цифра, k, m, n — неотрицательные целые числа, причем 
Стерев цифру a, мы получим число 
По условию 
иначе 
и 
Тогда равенство примет вид 
В силу условия число m оканчивается не на 0 и потому не делится на 10. Значит, 
и 
причем 
Поэтому возможны два случая. 
Тогда 
а исходное число равно 12a, где 
Тогда 
и 
а исходное число равно 108.
На отрезке AB длины 10 как на диаметре построена окружность ω. Через точку A проведена касательная к ω, на которой выбрана точка K. Через точку K проведена прямая, отличная от AK, касающаяся окружности ω в точке C. Высота CH треугольника ABC пересекает отрезок BK в точке L. Найдите площадь треугольника CKL, если известно, что 
и 
Поэтому 
В каждой клетке шахматной доски стоит конь. Какое наименьшее число коней можно убрать с доски так, чтобы на доске не осталось ни одного коня, бьющего ровно трех других коней? (Конь бьет клетки, отстоящие от него на одну клетку по горизонтали и две по вертикали или наоборот.)
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Радиусы их оснований равны 1, 4 и 4, углы при 
и 
соответственно (углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении). На стол положили шар, касающийся всех конусов. Найдите радиус шара.
точка касания шара со столом, 2α и 2β — углы при вершине первого и второго конусов. На верхнем рисунке показано сечение первого конуса плоскостью COO1, Касание шара с первым конусом означает, что перпендикуляр OE, опущенный из точки O на образующую PB, равен R. Действительно, в этом случае шар и конус касаются плоскости, проходящей через образующую PB перпендикулярно сечению, и лежат по разные стороны от нее. Поэтому шар касается прямых BC и BE в точках C и E, откуда 
и
и 
или 
Необходимо, чтобы шар касался образующих конусов, а не их продолжений за вершину. Это означает, что 
и 
Первое условие эквивалентно 
Второе условие приводится к неравенству 
На нитке надеты 150 бусинок красного, синего и зеленого цвета. Известно, что среди любых шести бусинок, идущих подряд, есть хотя бы одна зеленая, среди любых одиннадцати, идущих подряд, — хотя бы одна синяя. Какое наибольшее количество красных бусинок может быть на нитке?
последовательных блоков по 11 бусинок. Так как каждый блок содержит хотя бы одну синюю бусинку, всего на нитке не менее 13 синих бусинок. Кроме того, мы можем сгруппировать все бусинки в 25 последовательных блоков по 6 бусинок. Каждый из блоков содержит хотя бы одну зеленую бусинку, поэтому всего их на нитке не менее 25. Значит, число красных бусинок не больше 
По условию 
(иначе m будет отрицательным), откуда 
Таким образом, нулем заменяется старшая цифра и сходного числа. Кроме того, 
Тогда число 
кратно 10 и потому оканчивается на 0. В силу условия число m оканчивается не на 0. Значит, последняя цифра m равна 5 и число m нечетно. Поэтому 8m не делится на 16, откуда 
Рассмотрим три случая. 
Тогда 
Так как число m нечетно и меньше 1000, цифра 
может принимать значения 1, 3, 5, 7, что дает нам 4 варианта. 
Тогда 
Так как число m нечетно и меньше 100, цифра а равна 2 или 6. Эти значения дают нам 
Тогда 
Так как число m нечетно и меньше 10, мы получаем 
положим 
и 
Тогда 
В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AC опушена высота BН. Точки X и Y — центры окружностей, вписанных в треугольники ABH и СВН соответственно. Прямая ХY пересекает катеты AB и BC в точках P и Q. Найдите площадь 
Отрезки HX и HY относятся как радиусы окружностей, вписанных в подобные треугольники AHB и BHC, поэтому 
то есть треугольник BPQ равнобедренный. Заметим, что треугольники PBX и НBX равны. Действительно, сторона BX у них общая, 
и 
и
и 
Прямоугольник 3 × 5 разбит на 15 квадратов 1 × 1. Назовем путем перемещение по сторонам единичных квадратов, при котором ни одна из сторон не проходится дважды. Какую наибольшую длину может иметь путь, соединяющий две противоположные вершины прямоугольника?
ребер, свободных от пути, а длина пути не превосходит 
Пример пути длины 30 показан на рисунке.На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Радиусы их оснований равны 32, 48 и 48, углы при вершине — 
и 
соответственно (углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении). Над столом подвесили шар, касающийся всех конусов. Оказалось, что центр шара равноудален от центров оснований всех конусов. Найдите радиус шара.
