Всего: 173 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Числа p и q подобраны так, что парабола y = px − x2 пересекает гиперболу xy = q в трех различных точках A, B и C, причем сумма квадратов сторон треугольника ABC равна 324, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 2 от начала координат. Найдите произведение pq.
сводится к кубическому уравнению 
имеющему, по условию задачи, три различных корня x1, x2, x3, так как у любых двух разных точек кривой 
абсциссы различны. По теореме Виета, 
Заметим, что если хотя бы одно из чисел x1, x2 или x3 равно 0, то 
и у кубического уравнения будет лишь два корня, что противоречит условию задачи. Тогда, в силу системы, 
Теперь вычислим сумму квадратов длин сторон треугольника ABC. Она равна 
откуда находим две пары: 
или 
В обоих случаях 
Числа p и q подобраны так, что парабола y = qx − x2 пересекает гиперболу xy = p в трех различных точках A, B и C, причем сумма квадратов сторон треугольника ABC равна 378, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 3 от начала координат. Найдите произведение pq.
Докажите неравенство 
иначе переставим x и y, увеличив левую часть неравенства. Из условия вытекает, что 
и 
Положим 
и рассмотрим пятиугольник ОABCD с вершинами в точках 
(см. рисунок). Так как 
и 
и 
По условию 
Поэтому 
Тогда 
Докажите неравенство 
Положим 
и рассмотрим пятиугольник ОABCD с вершинами в точках 
и 
(см. рисунок). Так как 
и 
Тогда 
достигается при 
Докажите неравенство 
По условию 
В силу симметрии неравенства можно считать 
Рассмотрим четырехугольник ОABC (см. рисунок) с вершинами в точках 
Заметим, что 
поскольку 
а 
есть расстояние от B до прямой OC. Таким образом, 
раствора 
которая равна 
и 
В силу условия 
Тогда 
и 
и 
Решение 
Решение 
и 
прямоугольник площади 
Числитель A равен 
равен 
Равенство реализуется при 
Стороны такого треугольника по теореме синусов равны 
и 
а его удвоенная площадь равна 
Тогда A — радиус вписанной окружности треугольника. Поэтому A не превосходит половины радиуса его описанной окружности, то есть 
имеет 3 корня?
прямая параллельная оси абсцисс. Уравнение будет иметь три корня, при 
Известно, что неравенство 
не имеет решений на отрезке [2; 5]. Найдите 
выполняется неравенство 
получаем неравенство 
Рассмотрим функции 
не пересекает хотя бы один из отрезков AB, CD, EF, то 
Значит, для любых a и b имеем 
причём 
только при 
и 
Следовательно, в нашем случае 
и 
откуда 
и 
Значит, 
и 
Тогда справедливо соотношение 
Решением неравенства 
является множество 
имеет общие точки с этим множеством — это отрезок с выколотой 
Таким образом,
и 
Докажите неравенство 
и 
Тогда 
одинаково направлены, то есть
есть расстояние между точками 
и 
то есть 
есть расстояние между точками 
и 
Тогда 
На основании неравенства треугольника: 
и 
Тогда 
откуда по т. Пифагора 
Тогда, наименьшее значение 
принадлежат отрезку прямой AB при 
Составим уравнение прямой AB, проходящей через точки 
то есть 
и 
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 10 км, в 7:00 выехал автомобиль. Проехав 2/3 пути, автомобиль миновал пункт C, из которого в этот момент в пункт A выехал велосипедист. Как только автомобиль прибыл в B, оттуда в обратном направлении сразу же выехал автобус и прибыл в A в 9:00. В скольких километрах от B автобус догнал велосипедиста, если велосипедист прибыл в пункт в 10:00 и скорость каждого участника движения постоянна?
тогда по теореме Фалеса 
то 
а 
Откуда (опять по теореме Фалеса) 
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 20 км, в 10:00 выехал автомобиль. Проехав 2/3 пути, автомобиль миновал пункт C, из которого в этот момент в пункт A выехал велосипедист. Как только автомобиль прибыл в B, оттуда в обратном направлении сразу же выехал автобус, который догнал велосипедиста на расстоянии 12 км от B и прибыл в A в 12:00. На сколько минут позже автобуса в пункт A прибыл велосипедист, если скорость каждого участника движения постоянна?
Это возможно, когда одно из слагаемых равно 25 и другое 0 (4 случая), или когда одно равно 16, а другое 9 (8 случаев).
есть расстояние между точками 
и 
есть расстояние между точками 
и 
Тогда 
На основании неравенства треугольника: 
то есть 
Тогда 
откуда по т. Пифагора 
Тогда, наименьшее значение 
принадлежат отрезку прямой AB при 
Составим уравнение прямой AB, проходящей через точки 
то есть 
и 
В ответе укажите сумму всех найденных целочисленных значений y.
тогда вторая система приводит к совокупности: 
нечётная, возрастает на всей числовой прямой и 
при 
неравенство имеет, по крайней мере, три целочисленных решения: 
при 
—
при 
—
при 
—
—
появляются «по очереди»: 
Подставляя эти значения в исходное неравенство, получим, что 
является корнем при 
—
—
Таким образом, ровно два целочисленных решения будет при 
Искомая сумма равна 
В ответе укажите сумму всех найденных целочисленных значений y.Найдите все значения a, при которых существует единственное число, одновременно удовлетворяющее неравенствам
Выберите среди этих значений a наибольшее и наименьшее и в ответе укажите расстояние между ними (если такое значение единственно, в ответе укажите 0), при необходимости округлив его до сотых.
При этом значении a второе неравенство имеет решения (два непересекающихся луча), 
входит в это решение;
но первое неравенство не выполнено. 
то 
При этом значении a решения системы 
то 
При этом значении a система имеет единственное решение 
они условию не удовлетворяют. Окончательно получаем: 
и 
Искомая величина: 