Всего: 173 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Найдите вcе значения параметра b такие, что система
имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра a.
Рассмотрим неравенство данной системы. При любом значении параметра а расстояние от начала координат до прямой
равно 2, а точка (0; 0) удовлетворяет этому неравенству. Значит, неравенство задаёт полуплоскость, содержащую точку (0; 0), границей которой является прямая, касающаяся окружности 
У равнение данной системы можно преобразовать к виду
Оно задаёт окружность 
с центром 
радиуса 
(или точку при 
Для того, чтобы система имела решение при любом значении параметра a, требуется, чтобы окружность пересекала любую из полуплоскостей, определяемых неравенством системы. Пусть 
—
которая касается окружности 
внешним образом. Тогда сформулированному условию удовлетворяют все значения радиуса из промежутка 
Для окружностей, касающихся внешним образом, сумма радиусов равна расстоянию между центрами. Отсюда получаем, 
Ответ: 
Верное изображение второго множества (окружность с переменным радиусом или точка) — 1 балл.
Верное описание первого множества (полуплоскости с опорными прямыми, касающимися данной окружности) — 3 балла.
Найдены значения параметра — 4 балла. (Если при этом считается, что радиус окрестности равен f(b), a не |f(b)|, пo 3 балла вместо 4. Если в ответе открытые лучи вместо замкнутых, то снять 1 балл.)
Во многих работах не понята логика задачи. Участники находят множество точек, удовлетворяющих первому неравенству при любых значениях параметра a, — круг, а затем ищут, при каких значениях параметра b окружность, заданная вторым уравнением, пересекает этот круг. Если при этом круг получен введением вспомогательного угла и геометрический смысл неравенства системы (полуплоскость) не найден, то за такое решение задачи ставится не более 2 баллов.
Найдите вcе значения параметра b такие, что система
имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра a.
Рассмотрим неравенство данной системы. При любом значении параметра a расстояние от начала координат до прямой
равно 3, а точка (0; 0) не удовлетворяет этому неравенству. Значит, неравенство задаёт полуплоскость, не содержащую точку (0; 0), границей которой является прямая, касающаяся окружности 
Уравнение данной системы можно преобразовать к виду
Оно задаёт окружность с центром (−5; −1) радиуса 
(или точку (−5; −1) при 
Для того, чтобы система имела решение при любом значении параметра a, требуется, чтобы окружность пересекала любую из полуплоскостей, определяемых неравенством системы. Пусть — которая касается окружности 
внутренним образом (т. е. окружность 
находится внутри окружности 
Тогда сформулированному условию удовлетворяют все значения радиуса из промежутка 
Для окружностей, касающихся внутренним образом, разность радиусов равна расстоянию между центрами. Отсюда получаем, что 
поэтому
Ответ: 
Верное изображение второго множества (окружность с переменным радиусом или точка) — 1 балл.
Верное описание первого множества (полуплоскости с опорными прямыми, касающимися данной окружности) — 3 балла.
Найдены значения параметра — 4 балла. (Если при этом считается, что радиус окрестности равен f(b), a не |f(b)|, пo 3 балла вместо 4. Если в ответе открытые лучи вместо замкнутых, то снять 1 балл.)
Во многих работах не понята логика задачи. Участники находят множество точек, удовлетворяющих первому неравенству при любых значениях параметра a, — круг, а затем ищут, при каких значениях параметра b окружность, заданная вторым уравнением, пересекает этот круг. Если при этом круг получен введением вспомогательного угла и геометрический смысл неравенства системы (полуплоскость) не найден, то за такое решение задачи ставится не более 2 баллов.
Найдите все значения параметра a, при которых существует значение параметра b такое, что система
имеет ровно два решения.
Первое уравнение на ОДЗ равносильно уравнению
Так ОДЗ определяется неравенством 
и 
Итак, первое уравнение задаёт отрезок AB на плоскости, расположение которого зависит от параметра a.
Второе уравнение может быть переписано в виде
это уравнение окружности с центром 
радиуса 
(также может быть точка или пустое множество, но нас эти варианты не интересуют, так как тогда у системы меньше двух решений).
Система может иметь два решения при каком-либо b тогда и только тогда, когда перпендикуляр, опущенный из M на прямую, содержащую отрезок AB, попадает во внутреннюю точку отрезка (если окружность пересекает прямую, то точки пересечения находятся по разные стороны от проекции центра окружности на прямую).
Составим уравнение прямой, проходящей через М и перпендикулярной AB. Поскольку произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно −1, то её угловой коэффициент равен 
и её уравнение имеет вид
Абсцисса точки пересечения этой прямой и прямой AB может быть найдена из системы уравнений
это 
Чтобы эта точка оказалась внутренней точкой отрезка, необходимо и достаточно, чтобы 
откуда
Ответ: 
При геометрическом способе решения:
а) изображено второе множество (окружность с переменным радиусом или точка) — 1 балл;
б) верно описано первое множество (семейство параллельных отрезков) — 2 балла;
в) верная геометрическая формулировка условия наличия ровно двух решений — 2 балла.
При алгебраическом способе решения:
а) первое уравнение приведено к линейному м ограничением относительно одной из переменных — 2 балла;
б) сделана подстановка и сформулировано верное условие для параболы — 3 балла.
Найдите все значения параметра a такое, что система
имеет не более одного решения при любом значении параметра b.
Первое уравнение на ОДЗ равносильно уравнению
Так ОДЗ определяется неравенством
Итак, первое уравнение задаёт отрезок 
на плоскости, расположение которого зависит от параметра a.
Второе уравнение может быть переписано в виде
это уравнение окружности с центром 
радиуса 
(также может быть точка или пустое множество, но тогда при любом a не более одного решения).
Система имеет не более одного решения при любом b тогда и только тогда, когда перпендикуляр, опущенный из M на прямую, содержащую отрезок AB, не попадает во внутреннюю точку отрезка (если окружность пересекает прямую, то точки пересечения находятся по разные стороны от проекции центра окружности на прямую).
Составим уравнение прямой, проходящей через М и перпендикулярной AB. Поскольку произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно −1, то её угловой коэффициент равен 
и её уравнение имеет вид
Ордината точки пересечения этой прямой и прямой AB может быть найдена из системы уравнений 
—
Чтобы эта точка не оказалась внутренней точкой отрезка, необходимо и достаточно, чтобы 
откуда 
Ответ: 
При геометрическом способе решения:
а) изображено второе множество (окружность с переменным радиусом или точка) — 1 6алл;
б) верно описано первое множество (семейство параллельных отрезков) — 2 балла;
в) верная геометрическая формулировка условия наличия ровно двух решений — 2 балла.
При алгебраическом способе решения:
а) первое уравнение приведено к линейному с ограничением относительно одной из переменных — 2 балла;
б) сделана подстановка и сформулировано верное условие для параболы — 3 балла.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений 
и 
Первое из них задаёт квадрат G с центром 
диагонали которого равны 4 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром 
радиуса 
Второе уравнение исходной системы при 
задаёт окружность 
с центром 
радиуса 
(при 
пустое множество, при 
одну точку - в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при 
две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при 
или 
Две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G (т. к. 
т. е. у системы 3 решения.
2) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G (т. к. 
т. е. у системы 1 решение.
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 3 решения.
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение.
Итак, подходят и Тогда 
и 
Ответ: при и 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого1:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла.
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл.
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
и Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений 
и 
Первое из них задаёт квадрат G с центром 
диагонали которого равны 6 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром радиуса 
Второе уравнение исходной системы при задаёт окружность с центром 
радиуса (при пустое множество, при одну точку — в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при 
две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при 
или 
две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G 
2) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G 
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S 
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение. Итак, подходят и Tогда 
и 
Ответ: при 
и 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого1:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла.
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл.
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
и Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений и Первое из них задаёт квадрат G с центром диагонали которого равны 4 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром Второе уравнение исходной системы при задаёт окружность с центром 
радиуса (при пустое множество, при одну точку - в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при две общие точки при и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при или две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G
2) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G 
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S 
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение. Итак, подходят и Тогда и
Ответ: 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла;
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл;
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений и Первое из них задаёт квадрат G с центром диагонали которого равны 6 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром (0; 0) радиуса Второе уравнение исходной системы при задаёт окружность с центром (−5; 4) радиуса (при пустое множество, при одну точку — в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при две общие точки при
и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при или две общие точки при и ни одной общей точки при остальных R. Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G 
2) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение. Итак, подходят и Тогда и
Ответ: 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла;
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл;
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно одно решение.
При условии 
данное уравнение равносильно уравнению 
График правой части уравнения — прямая 
График левой части уравнения — это «уголок» с вершиной в точке (1; 0), наклон ветвей которого определяется параметром a.
Левая ветвь «уголка» пересекает прямую при 
правая ветвь пересекает прямую при 
и 
(при 
правая ветвь проходит через выколотую точку прямой — точку 
Следовательно, ровно одно решение получается при
Ответ: 
Не учтён случай, когда одна из ветвей графика 
параллельна прямой — снять 1 балл.
Не учтён случай, когда одна из ветвей графика проходит через выколотую точку — снять 1 балл.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно одно решение.
При условии 
данное уравнение равносильно уравнению 
График правой части уравнения — прямая 
График левой части уравнения — это «уголок» с вершиной в точке (−1; 0), наклон ветвей которого определяется параметром a.
Левая ветвь «уголка» пересекает прямую при правая ветвь пересекает прямую при и 
Ответ: 
Не учтён случай, когда одна из ветвей графика параллельна прямой — снять 1 балл.
Не учтён случай, когда одна из ветвей графика проходит через выколотую точку — снять 1 балл.
Дана система уравнений
а) Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно одно решение.
а) Заметим, что равенство 
выполняется тогда и только тогда, когда числа a и b неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Первое неравенство задаёт круг радиуса 5 с центром (3; 0), а вся система — часть этого круга, лежащую в полуплоскости 
Площадь этого сегмента равна разности площади круга и площади сегмента этого круга, находящегося в полуплоскости 
Поскольку центральный угол этого сегмента равен 2 arcsin 0,8, получаем, что его площадь S равна
б) Рассмотрим второе уравнение исходной системы. Перепишем его в виде
Если подставить в него 
то получим, что 
Таким образом, это уравнение задаёт прямую, проходящую через
Значит, система имеет ровно одно решение тогда, когда прямая проходит через одну из «вершин» сегмента — точку 
или точку 
Подставляя координаты точек в уравнение прямой, получаем:
Ответ: а) 
б) 
Построено множество — 3 балла.
Найдена его площадь — 1 балл.
б) 
Найти наибольшее и наименьшее значение функции: 
при условии 
Представим данную функцию z в виде тождества:
Так как выражение 
ограничено, то наибольшее значение функции z будет при 
отсюда 
тогда 
или 
и
Отсюда имеем: 
поэтому 
Для нахождения наименьшего значения функции z преобразуем ее следующим образом:
Так как выражение ограничено, то наименьшее значение функции z будет зависеть от величины выражения 
и так как это выражение не может быть отрицательным, то наименьшее значение 
будет равно нулю, то есть 
отсюда 
В этом случае z будет иметь свое наименьшее значение. Имеем: 
или 
тогда 
где 
Итак, наибольшее значение z равно 
а наименьшее 
Объединив два последних неравенства, получим: 
Наименьшее значение z, равное 0,5, будет при 
и 
то есть при 
и 
а наибольшее, равное 3, будет при 
В геометрической интерпретации это означает, что x и y — координаты точек плоскости, заключенной между двумя концентрическими окружностями с общим центром в начале координат, радиусы которых равны 1 и 
и точек этих двух окружностей. В точках M и M1 имеем максимум функции z, в точках N и N1 — минимум.
Ответ: 3; 0,5.
Приведем другое решение.
Перейдем от прямоугольной системы координат к полярной, положив 
и 
имеем:
Поскольку известна оценка r2, получим:
или 
Итак, 
Дана система уравнений
а) Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно одно решение.
а) Заметим, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда числа a и b неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Первое неравенство задаёт круг радиуса 5 с центром (0; 4), а вся система — часть этого круга, лежащую в полуплоскости 
Площадь этого сегмента равна разности площади круга и площади сегмента этого круга, находящегося в полуплоскости 
Поскольку центральный угол этого сегмента равен 
получаем, что его площадь S равна
б) Рассмотрим второе уравнение исходной системы. Перепишем его в виде
Если подставить в него 
то получим, что 
Таким образом, это уравнение задаёт прямую, проходящую через 
Значит, система имеет ровно одно решение тогда, когда прямая проходит через одну из «вершин» сегмента — точку 
или точку 
Подставляя координаты точек в уравнение прямой, получаем:
Ответ: а) 
б) 
Построено множество — 3 балла.
Найдена его площадь — 1 балл.
б) Дана система уравнений
а) Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно три решения.
Заметим, что равенство 
выполняется тогда и только тогда, когда числа a, b и c неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Эта система задаёт на плоскости треугольник с вершинами 
площадь которого равна 60.
Второе уравнение исходной системы задаёт окружность (или точку при 
Система может иметь ровно три решения только в одном случае: когда окружность, задаваемая вторым уравнением, описана около треугольника EGN. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника — это середина гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы, откуда получаем условия
Второе уравнение задаёт два значения параметра: 
и 
Подстановкой убеждаемся, что оба они удовлетворяют первому уравнению.
Ответ: а) б)
Указано, что ровно три решения возможны тогда и только тогда, когда второе уравнение задаёт окружность, описанную около треугольника, задаваемого первым уравнением — 2 балла.
За каждое найденное значение параметра — по 1 баллу.
б) Решите систему уравнений
Данная система равносильна следующей:
Разделив почленно второе уравнение последней системы на первое, получаем 
откуда 
Подставляем это в первое уравнение:
Подбором находим целочисленный корень этого уравнения — 
Выделив множитель 
получаем
Значит, уравнение имеет единственный корень Тогда и пара чисел (2; 1) является единственным решением системы.
Ответ: (2; 1).
Получено линейное соотношение между переменными 
— 3 балла.
Решено кубическое уравнение — 2 балла.
Получено решение системы — 1 балл.
Дана система уравнений
а) Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно три решения.
Заметим, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда числа a, b и c неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Эта система задаёт на плоскости треугольник с вершинами 
площадь которого равна 96. Второе уравнение исходной системы задаёт окружность (или точку при 
Система может иметь ровно три решения только в одном случае: когда окружность, задаваемая вторым уравнением, описана около треугольника EGN. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника — это середина гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, откуда получаем условия
Второе уравнение задаёт два значения параметра: 
и 
Подстановкой убеждаемся, что оба они удовлетворяют первому уравнению.
Ответ: а) 96; 
Построено множество — 3 балла.
Найдена его площадь — 1 балл.
Указано, что ровно три решения возможны тогда и только тогда, когда второе уравнение задаёт окружность, описанную около треугольника, задаваемого первым уравнением — 2 балла.
За каждое найденное значение параметра — по 1 баллу.
Решите систему
Преобразуем уравнение системы:
В каждом из четырёх случаев выражаем y и подставляем в неравенство. Если 
то
Toгда 
Остальные случаи разбираются аналогично. В итоге получаем 4 решения:
Ответ: 
Уравнение системы разложено на 4 линейных множителя.
Найдено решение (для каждого из четырех случаев) — 4 балла.
Если далее при поиске решений неравенство заменяется уравнением, то добавляется не более 1 балла за все случаи.
Уравнение системы разложено на два квадратичных множителя и других продвижений нет — 2 балла за задачу.
Неравенство системы заменено уравнением и при этом второе уравнение не разложено на множители — не более 1 балла за задачу.
Решите систему
Преобразуем уравнение системы (добавляем к обеим частям 
Получаем две окружности радиуса 
с центрами в точках (3; 3) и (−3; −3). Неравенство системы задаёт полуплоскость. Рассмотрим взаимное расположение каждой из окружностей с прямой 
являющейся границей этой полуплоскости.
При этом центры рассматриваемых окружностей — точки (−3; −3) и (3; 3) — не лежат в полуплоскости, так как их координаты не удовлетворяют неравенству. Поэтому вторая окружность не имеет общих точек с полуплоскостью, а первая имеет единственную общую точку
Ответ:
Второе уравнение системы разложено на множители — 5 баллов.
За каждый верно разобранный случай — 2 балла.
Решите систему
Преобразуем уравнение системы:
В каждом из четырёх случаев выражаем y и подставляем в неравенство. Если 
то
Тогда Остальные случаи разбираются аналогично. В итоге получаем 4 решения:
Ответ: 
Уравнение системы разложено на 4 линейных множителя — 4 балла.
Найдено решение (для каждого из четырех случаев) — 1 балл.
Если далее при поиске решений неравенство заменяется уравнением, то добавляется не более 1 балла за все случаи.
Уравнение системы разложено на два квадратичных множителя и других продвижений нет — 2 балла за задачу.
Неравенство системы заменено уравнением и при этом второе уравнение не разложено на множители — не более
Решите систему
Преобразуем уравнение системы:
В каждом из четырёх случаев выражаем y и подставляем в неравенство. Если то
Тогда Остальные случаи разбираются аналогично. В итоге получаем 4 решения:
Ответ: 
Уравнение системы разложено на 4 линейных множителя — 4 балла.
Найдено решение (для каждого из четырех случаев) — 1 балл.
Если далее при поиске решений неравенство заменяется уравнением, то добавляется не более 1 балла за все случаи.
Уравнение системы разложено на два квадратичных множителя и других продвижений нет — 2 балла за задачу.
Неравенство системы заменено уравнением и при этом второе уравнение не разложено на множители — не более
Наверх