Для того чтобы число де­ли­лось на 12, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 4 и на Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 4, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 4 или 8 (3 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 1296.

Для того чтобы число де­ли­лось на 15, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 5 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 5, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0 или 5 (2 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 5184.

Для того чтобы число де­ли­лось на 6, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 2 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 2, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 2, 4, 6, 8 (5 спо­со­бов).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 6), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 2160.

Для того чтобы число де­ли­лось на 75, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 25 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 25, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 5 (1 спо­соб).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 2592.

Для того чтобы число де­ли­лось на 12, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 4 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 4, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0,4 или 8 (3 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 1296.

Назовём клет­ку на поле раз­вил­кой, если далее из неё можно дви­гать­ся в двух воз­мож­ных на­прав­ле­ни­ях. Дви­га­ясь от клет­ки a вверх или впра­во, при­хо­дим к одной из раз­ви­лок, от­ме­чен­ных на ри­сун­ке зна­ком ×. Далее от каж­дой из них до клет­ки b мы встре­тим три раз­вил­ки, от­ме­чен­ные на ри­сун­ке зна­ком  — (стрел­ка­ми ука­за­ны воз­мож­ные на­прав­ле­ния дви­же­ния), по­это­му всего спо­со­бов

Ответ: 16.

Ре­ше­ние ана­ло­гич­но за­да­нию 1692.

Ответ: 16.

За­ме­тим, что игрок, де­ла­ю­щий пер­вый ход, все­гда имеет пре­иму­ще­ство и вы­иг­ры­ва­ет при пра­виль­ной стра­те­гии. Дей­стви­тель­но, на пер­вом шаге нужно взять один ка­мень из кучи, а на каж­дом по­сле­ду­ю­щем шаге брать такое ко­ли­че­ство кам­ней, чтобы число остав­ших­ся кам­ней де­ли­лось на 5. По­сколь­ку со­глас­но пра­ви­лам игры, на каж­дом шаге раз­ре­ше­но брать 1, 2, 3 или 4 камня, такая стра­те­гия все­гда осу­ще­стви­ма.

В то же время, если на каком-то из шагов игрок, де­ла­ю­щий пер­вый ход, от­сту­пит от этой стра­те­гии, то его со­пер­ник имеет воз­мож­ность вы­иг­рать игру, вос­поль­зо­вав­шись той же стра­те­ги­ей. За­ме­тим также, что если в игре по­беж­да­ет игрок, де­ла­ю­щий пер­вый ход, то он обя­за­тель­но де­ла­ет за игру 4 хода.

Таким об­ра­зом, у Вани на каж­дом ходу есть толь­ко одна воз­мож­ность вы­иг­рать: если он возь­мет 1 ка­мень на пер­вом ходу, оста­вит папе ровно 10 кам­ней после вто­ро­го хода и ровно 5 кам­ней после тре­тье­го хода. Ве­ро­ят­ность этого

После этого папа, чтобы сде­лать наи­мень­шей ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша Вани, дол­жен взять 1 ка­мень. Тогда Ваня вы­иг­ра­ет, толь­ко если сразу возь­мет 4 камня из че­ты­рех остав­ших­ся. Ве­ро­ят­ность та­ко­го хода

Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша Вани равна

от­ве­том яв­ля­ет­ся число

Ответ: 0,0625.

Так как Ксюша со­всем не будет ждать, то ре­бя­та пой­дут в кино, толь­ко если Ксюша при­дет по­след­ней. Время при­хо­да ребят  — не­за­ви­си­мые со­бы­тия, сле­до­ва­тель­но,

Далее,

Вто­рая ве­ро­ят­ность на­хо­дит­ся гео­мет­ри­че­ски. Обо­зна­чим: x  — мо­мент при­хо­да Васи, y  — мо­мент при­хо­да Вани, и Тогда об­ласть

со­от­вет­ству­ет тому, что пер­вым при­шел Вася и он до­ждал­ся при­хо­да Вани, а об­ласть

ука­зы­ва­ет на то, что пер­вым при­шел Ваня и он до­ждал­ся при­хо­да Васи. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем бла­го­при­ят­ную об­ласть для со­бы­тия «Ваня и Вася встре­тят­ся»:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Так как Ксюша со­всем не будет ждать, то ре­бя­та пой­дут в кино, толь­ко если Ксюша при­дет по­след­ней. Время при­хо­да ребят  — не­за­ви­си­мые со­бы­тия, сле­до­ва­тель­но,

Далее,

Вто­рая ве­ро­ят­ность на­хо­дит­ся гео­мет­ри­че­ски. Обо­зна­чим: x  — мо­мент при­хо­да Васи, y  — мо­мент при­хо­да Вани, и Тогда об­ласть

со­от­вет­ству­ет тому, что пер­вым при­шел Вася и он до­ждал­ся при­хо­да Вани, а об­ласть

ука­зы­ва­ет на то, что пер­вым при­шел Ваня и он до­ждал­ся при­хо­да Васи. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем бла­го­при­ят­ную об­ласть для со­бы­тия «Ваня и Вася встре­тят­ся»:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Число спо­со­бов про­чте­ния, ко­то­рые на­чи­на­ют­ся с верх­ней левой буквы «Р», равно так как не­об­хо­ди­мо сде­лать 4 шага по бук­вам и каж­дый шаг на­прав­лен впра­во или вниз. Если вы черк­нуть рас­смот­рен­ную букву «Р», то остаётся под­счи­тать число остав­ших­ся спо­со­бов на ри­сун­ке 1.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

За­фик­си­ру­ем те­перь на­прав­ле­ние чте­ния: будем счи­тать, что слово чи­та­ет­ся так, что пер­вая буква «Р» в нём на­хо­дит­ся не ниже по­след­ней. Для пра­вой верх­ней буквы «Р» по­лу­ча­ем 2 спо­со­ба. Вы черк­нем эту букву (рис. 2) и рас­смот­рим сле­ду­ю­щую букву «Р». Число спо­со­бов про­чте­ния, на­чи­на­ю­щих­ся с неё, равно 3. Вы­черк­нем и эту букву, а также буквы «O», рядом с ко­то­ры­ми не оста­лось ни одной буквы «Р», так как боль­ше нет спо­со­бов про­чте­ния, со­дер­жа­щих эти буквы «O» (рис. 3). Сле­ду­ю­щая буква «Р» на­хо­дит­ся в такой же по­зи­ции, что и преды­ду­щая, по­это­му с неё на­чи­на­ет­ся также 3 воз­мож­ных спо­со­ба. На­ко­нец, вы­черк­нем её и рас­по­ло­жен­ную выше букву «О» (рис. 4). Тогда остаётся всего 1 спо­соб про­чте­ния.

Итого по­лу­ча­ем спо­со­бов.

Ответ: 25.

Ре­ше­ние ана­ло­гич­но за­да­нию 4259.

Ответ: 25.

Пусть ве­ро­ят­ность ис­прав­ной ра­бо­ты сква­жи­ны равна p, а ве­ро­ят­ность вы­хо­да из строя  — q. По усло­вию за­да­чи не­об­хо­ди­мая по­да­ча нефти обес­пе­чи­ва­ет­ся, если ис­прав­ны, по край­ней мере, 2 сква­жи­ны, то есть ис­прав­но ра­бо­та­ют или 2, или 3, или 4 сква­жин.

Най­дем ве­ро­ят­ность ис­прав­ной ра­бо­ты любых сква­жин  — (ра­бо­та­ют пер­вая, вто­рая сква­жи­ны, не ра­бо­та­ют тре­тья и чет­вер­тая сква­жи­ны) или (ра­бо­та­ют пер­вая, чет­вер­тая сква­жи­ны, не ра­бо­та­ют  — вто­рая и тре­тья) или т. д. Всего таких ком­би­на­ций 6. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность ра­бо­ты любых трех сква­жин равна

Ана­ло­гич­но на­хо­дим, что ве­ро­ят­ность ис­прав­ной ра­бо­ты сква­жин равна

Ве­ро­ят­ность ис­прав­ной ра­бо­ты сква­жин равна p⁴. Тогда ве­ро­ят­ность ис­прав­ной ра­бо­ты по край­ней мере сква­жин равна

По усло­вию за­да­чи из­вест­но, что ве­ро­ят­ность вы­хо­да из строя сква­жи­ны равна тогда ве­ро­ят­ность ис­прав­ной ра­бо­ты сква­жи­ны равна и По­лу­чим

Ответ: 0,97.

Най­дем:

Ответ:   — ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша пер­во­го,   — вто­ро­го.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть x  — ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша пер­во­го, тогда   — ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша вто­ро­го.

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Най­дем:

Ответ:   — ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша пер­во­го,   — вто­ро­го.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть x  — ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша пер­во­го, тогда ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша вто­ро­го. Тогда

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Легко ви­деть, что все числа на гра­нях гек­са­эд­ра имеют оста­ток 0 при де­ле­нии на 3, все числа на сто­ро­нах тет­ра­эд­ра  — оста­ток 1, а оба числа на сто­ро­нах мо­нет­ки  — оста­ток 2. Таким об­ра­зом, сумма вы­пав­ших чисел все­гда будет иметь оста­ток 0 при де­ле­нии на 3. Сле­до­ва­тель­но, про­из­ве­де­ние двух сумм вы­пав­ших чисел  — все­гда будет иметь оста­ток 0 при де­ле­нии на 9, т. е. с ве­ро­ят­но­стью 1 про­из­ве­де­ние двух сумм крат­но де­ся­ти.

Ответ: г).

По­сколь­ку книги долж­ны быть рас­став­ле­ны по не убы­ва­нию высот, то сна­ча­ла долж­ны сто­ять низ­кие книги, потом сред­ние, потом вы­со­кие. Зна­чит, нам надо по­счи­тать ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов рас­ста­нов­ки книг каж­до­го типа и затем пе­ре­мно­жить ре­зуль­та­ты.

Так как низ­ких книг 5 и все они раз­лич­ны, их можно рас­ста­вить 5! спо­со­ба­ми. Ана­ло­гич­но, вы­со­кие книги можно рас­ста­вить 4! спо­со­ба­ми. Сред­ние книги рас­ста­вим 5! спо­со­ба­ми. При этом, од­на­ко, сов­па­да­ют рас­ста­нов­ки, по­лу­ча­ю­щи­е­ся друг из друга пе­ре­ста­нов­кой трех оди­на­ко­вых книг. Сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство раз­лич­ных спо­со­бов рас­по­ло­же­ния сред­них книг равно от­ку­да и по­лу­ча­ет­ся ответ.

Ответ: в).

Най­дем ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­яв­ше­го в том, что маль­чи­ки на­пи­шут на лист­ках раз­ные числа. Ве­ро­ят­ность най­дем по фор­му­ле клас­си­че­ской ве­ро­ят­но­сти где M  — число ва­ри­ан­тов, при ко­то­рых маль­чи­ки на­пи­шут на лист­ках раз­ные числа, а N  — общее число воз­мож­ных ва­ри­ан­тов.

Каж­дый из маль­чи­ков может на­пи­сать любое из 10 чисел 1, 2, 3, ..., 10, а может и не на­пи­сать, по­это­му для каж­до­го из маль­чи­ков всего име­ет­ся

воз­мож­но­стей сде­лать выбор на­пи­сан­ных чисел. При этом в этом ко­ли­че­стве также под­счи­тан ва­ри­ант, когда маль­чик не на­пи­шет ни­ка­ко­го числа. По усло­вию каж­дый маль­чик дол­жен на­пи­сать хотя бы одно число, по­это­му из этого ко­ли­че­ства нужно вы­честь еди­ни­цу. Таким об­ра­зом, общее число воз­мож­ных ва­ри­ан­тов равно

Те­перь под­счи­та­ем число бла­го­при­ят­ных ва­ри­ан­тов. Пусть пер­вый маль­чик вы­брал какие-то k чисел, где тогда число спо­со­бов вы­брать эти k чисел равно числу со­че­та­ний из 10 по k, то есть В каж­дом таком слу­чае вто­рой маль­чик может как угод­но вы­би­рать числа из остав­ших­ся чисел, при этом он может на­пи­сать любое из чисел, а может и не на­пи­сать, по­это­му для него всего име­ет­ся

воз­мож­но­стей сде­лать выбор на­пи­сан­ных чисел. При этом в этом ко­ли­че­стве также под­счи­тан ва­ри­ант, когда вто­рой маль­чик не на­пи­шет ни­ка­ко­го числа. По усло­вию каж­дый маль­чик дол­жен на­пи­сать хотя бы одно число, по­это­му из этого ко­ли­че­ства нужно вы­честь еди­ни­цу, то есть рас­смот­реть число Таким об­ра­зом, число бла­го­при­ят­ных ва­ри­ан­тов равно сумме про­из­ве­де­ний

По фор­му­ле Би­но­ма Нью­то­на спра­вед­ли­во ра­вен­ство

по­это­му вы­ра­же­ние для числа M можно упро­стить:

По­это­му ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия равна

Тогда ис­ко­мая ве­ро­ят­ность по фор­му­ле ве­ро­ят­но­сти про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия равна

Ответ:

Обо­зна­чим через F(n) ко­ли­че­ство n-бук­вен­ных слов. По­лу­ча­ем (слово А), (слово АБА), (слово АББА), (слово АБАБА), (слова АБ­БА­БА и АБАБ­БА). Даль­ней­ший пря­мой подсчёт ста­но­вит­ся очень гро­мозд­ким. По­лу­чить F(7), F(8), F(9) ещё можно, но чем боль­ше n, тем боль­ше вре­ме­ни тре­бу­ет­ся. Можно за­ме­тить сле­ду­ю­щее. Так как из лю­бо­го слова новое слово об­ра­зу­ет­ся до­бав­ле­ние спра­ва либо двух букв БА, либо трех букв ББА, то Тогда по­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 86.

При­ве­дем при­мер дру­го­го ре­ше­ния.

Рас­смот­рим, вме­сто 20-бук­вен­но­го слова, со­от­вет­ству­ю­щее 19-бук­вен­ное слово, об­ра­зу­ю­ще­е­ся из 20-бук­вен­но­го вычёрки­ва­ни­ем по­след­ней буквы А. Про­ана­ли­зи­ро­вав усло­вие за­да­чи, за­ме­тим, что любое такое слово со­сто­ит из m двух­бук­вен­ных на­бо­ров АБ и n трех­бук­вен­ных на­бо­ров АББ. При этом

Ре­ше­ние дан­но­го урав­не­ния в целых чис­лах: что при­во­дит к трём ре­ше­ни­ям в на­ту­раль­ных чис­лах: или С уче­том пе­ре­ста­но­вок каж­дое из этих ре­ше­ний со­от­вет­ствен­но дает сле­ду­ю­щие ко­ли­че­ства слов: Итого: слов.

Ответ: 86.

Две кон­фе­ты од­но­го вида могут быть либо ле­ден­ца­ми, либо шо­ко­лад­ны­ми, либо мар­ме­лад­ны­ми. По­счи­та­ем ве­ро­ят­но­сти каж­до­го из этих со­бы­тий и сло­жим их. Упо­ря­до­чим кон­фе­ты в по­ряд­ке их съе­да­ния. Ве­ро­ят­ность того, что пер­вая кон­фе­та - ле­де­нец, равна Ве­ро­ят­ность того, что по­след­няя кон­фе­та ле­де­нец, равна ве­ро­ят­но­сти того, что ле­де­нец на любом дру­гом месте. Сле­до­ва­тель­но, эта ве­ро­ят­ность равна по­сколь­ку после вы­бо­ра пер­вой кон­фе­ты оста­лось всего 9 кон­фет, среди ко­то­рых ровно один ле­де­нец. Итак, ве­ро­ят­ность того, что пер­вая и по­след­няя кон­фе­ты  — ле­ден­цы, равна

Ана­ло­гич­но найдём ве­ро­ят­ность того, что пер­вая и по­след­няя кон­фе­та  — шо­ко­лад­ные, она равна А ве­ро­ят­ность того, что пер­вая и по­след­няя кон­фе­та  — мар­ме­лад­ные, равна Сле­до­ва­тель­но, от­ве­том за­да­чи яв­ля­ет­ся число

Ответ:

За­ме­ча­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что пер­вая и по­след­няя кон­фе­ты яв­ля­ют­ся ле­ден­ца­ми, можно также счи­тать сле­ду­ю­щим об­ра­зом.

Всего есть спо­со­бов вы­ло­жить наши 10 кон­фет в ряд, а среди них есть спо­со­бов вы­ло­жить их в ряд так, чтобы ле­ден­цы были в на­ча­ле и в конце. Тогда ве­ро­ят­ность того, что пер­вая и по­след­няя кон­фе­ты яв­ля­ют­ся ле­ден­ца­ми, равна

Ана­ло­гич­ным об­ра­зом можно по­счи­тать ве­ро­ят­но­сти и для кон­фет дру­гих видов.