Ве­ро­ят­но­сти по­пасть во все вер­ши­ны после 1, 2, 3, 4 часа имеют вид

По­лу­ча­ем для вер­ши­ны и сум­мар­но для сто­ро­ны.

Ответ: в вер­ши­не ве­ро­ят­ность боль­ше.

При­ве­дем при­мер дру­го­го ре­ше­ния.

На самом деле не обя­за­тель­но счи­тать ве­ро­ят­но­сти для всех вер­шин. Чтобы по­пасть на сто­ро­ну, улит­ке надо все 4 раза спус­кать­ся вниз.

После пер­во­го хода ве­ро­ят­ность по­пасть в вер­ши­ны S и T со­став­ля­ет по

После вто­ро­го хода ве­ро­ят­ность по­пасть в D равна в F тоже, в E:

После тре­тье­го хода: в G  — в J тоже, в каж­дую из вер­шин H и I  — по

После четвёртого: ве­ро­ят­ность уйти вниз, если вы­хо­дить из G или J  — если из H и I  —

Итого:

Чтобы по­пасть в вер­ши­ну, улит­ка долж­на прой­ти по пути од­но­го из сле­ду­ю­щих видов:

1)  ASASA или ASATA или ATASA или ATATA: ве­ро­ят­ность

2)  ASTSA или ATSTA: ве­ро­ят­ность

3)   ASDSA или ATFTA: ве­ро­ят­ность

4)  ASESA или ASETA или ATESA или ATETA: ве­ро­ят­ность

Итого:

Ответ: в вер­ши­не ве­ро­ят­ность боль­ше.

За­пи­шем ре­ше­ние для об­ще­го слу­чая, когда име­ет­ся N раз­лич­ных книг. Bасе нужно рас­по­ло­жить в ряд объ­ек­тов: книги, не ука­зан­ные в пунк­тах а) и б), и двух пар из а) и б). Это можно сде­лать спо­со­ба­ми. Кроме того, внут­ри каж­дой пары можно ме­нять книги ме­ста­ми, что уве­ли­чи­ва­ет общее число ва­ри­ан­тов в 4 раза. В итоге по­лу­ча­ем спо­со­бов. Для слу­чая, когда из­на­чаль­но име­ет­ся 9 раз­ных книг, по­лу­ча­ем

Ответ: а).

Из усло­вия сим­мет­рич­но­сти рас­ста­нов­ки вы­те­ка­ют два вы­во­да:

1)  слева и спра­ва от сти­хов Васи долж­ны сто­ять один том Пуш­ки­на и два тома Тарле;

2)  для томов Пуш­ки­на до­пу­сти­мы 3 пары по­зи­ций: (1, 7), (2, 6), (3, 5). Осталь­ные сво­бод­ные места долж­ны за­ни­мать книги Тарле.

Рас­ста­вить тома Пуш­ки­на на вы­бран­ных для них по­зи­ци­ях можно 2! спо­со­ба­ми. После этого книги Тарле на остав­ших­ся ме­стах не­за­ви­си­мо рас­став­ля­ют­ся 4! спо­со­ба­ми. Таким об­ра­зом, окон­ча­тель­ное ко­ли­че­ство рас­ста­но­вок  —3 · 2! · 4!.

Ответ: а).

Будем до­ка­зы­вать ин­дук­ци­ей по n сле­ду­ю­щие два утвер­жде­ния.

1)  Ве­ро­ят­ность того, что равна

2)  Ве­ро­ят­ность того, что x_n по­па­дет в за­дан­ный ин­тер­вал на от­рез­ке [0, 2], про­пор­ци­о­наль­на его длине.

База ин­дук­ции сле­ду­ет из усло­вия за­да­чи. Пусть п. 1) и 2) вы­пол­не­ны для По усло­вию где f: опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле За­ме­тим, что про­об­раз от­рез­ка [0, 2] при отоб­ра­же­нии f есть объ­еди­не­ние от­рез­ков и Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что равна ве­ро­ят­но­сти того, что

Сум­мар­ная длина от­рез­ков и со­став­ля­ет от длины от­рез­ка [0, 2]. По­это­му из утвер­жде­ний (1) и (2) для сле­ду­ет, что ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Утвер­жде­ние (1) для до­ка­за­но. Те­перь за­ме­тим, что функ­ции и яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми, и их об­ра­зы сов­па­да­ют с от­рез­ком [0, 2]. Таким об­ра­зом, утвер­жде­ние (2) для сле­ду­ет из ана­ло­гич­но­го утвер­жде­ния для Пе­ре­ход ин­дук­ции до­ка­зан.

Ответ:

Пусть N  — име­ю­ще­е­ся ко­ли­че­ство боль­ших колб в ла­бо­ра­то­рии,   — име­ю­ще­е­ся ко­ли­че­ство малых колб в ла­бо­ра­то­рии, и P(A)  — ве­ро­ят­ность со­бы­тия A  =  {со­дер­жа­ние соли в чаше на­хо­дит­ся в пре­де­лах от 50% до 60% вклю­чи­тель­но}. Не­об­хо­ди­мо найти такое наи­мень­шее N, чтобы было

Мыс­лен­но пе­ре­ну­ме­ру­ем все име­ю­щи­е­ся в ла­бо­ра­то­рии колбы  — при­сво­им им лич­ные но­ме­ра от 1 до 100. И тогда рав­но­ве­ро­ят­ны­ми ис­хо­да­ми этого экс­пе­ри­мен­та будут упо­ря­до­чен­ные пары раз­лич­ных лич­ных но­ме­ров по­сле­до­ва­тель­но вы­би­ра­е­мых ла­бо­ран­том колб:

Общее ко­ли­че­ство таких ис­хо­дов равно

Вы­чис­лим те­перь ко­ли­че­ство бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов для по­яв­ле­ния со­бы­тия A. Рас­смот­рим сле­ду­ю­щие слу­чаи, опре­де­ля­е­мые раз­мер­ны­ми ти­па­ми вы­бран­ных колб.

1)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет две боль­шие колбы  — тип [Б, Б]. Тогда про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше в ре­зуль­та­те опи­сан­ных ма­ни­пу­ля­ций ла­бо­ран­та ока­жет­ся рав­ным ве­ли­чи­не:

Такой выбор колб бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A. Ко­ли­че­ство эле­мен­тар­ных ис­хо­дов дан­но­го типа, оче­вид­но, равно

2)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет две ма­лень­кие колбы  — тип [м, м]. Про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше:

Такой выбор колб бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A. Ко­ли­че­ство ис­хо­дов в этом слу­чае равно

3)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет сна­ча­ла боль­шую колбу, затем ма­лень­кую  — тип [Б, м]. Про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше:

Такой выбор колб не бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A.

4)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет сна­ча­ла малую колбу, затем боль­шую колбу  — тип [м, Б]. Про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше:

Такой выбор колб также не бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A.

Вы­чис­ля­ем ве­ро­ят­ность со­бы­тия A (по фор­му­ле клас­си­че­ской ве­ро­ят­но­сти):

От­сю­да имеем

сле­до­ва­тель­но, И, зна­чит,

Ответ: при

Если N  — име­ю­ще­е­ся ко­ли­че­ство боль­ших колб в ла­бо­ра­то­рии, то   — име­ю­ще­е­ся ко­ли­че­ство малых колб в ла­бо­ра­то­рии, Для со­бы­тия A  =  {со­дер­жа­ние соли в чаше на­хо­дит­ся в пре­де­лах от до вклю­чи­тель­но} не­об­хо­ди­мо найти такое наи­мень­шее N, что ве­ро­ят­ность

Мыс­лен­но пе­ре­ну­ме­ру­ем все име­ю­щи­е­ся в ла­бо­ра­то­рии колбы - при­сво­им им лич­ные но­ме­ра от 1 до 100. И тогда рав­но­ве­ро­ят­ны­ми ис­хо­да­ми этого экс­пе­ри­мен­та будут упо­ря­до­чен­ные трой­ки раз­лич­ных лич­ных но­ме­ров по­сле­до­ва­тель­но вы­би­ра­е­мых ла­бо­ран­том колб: Общее ко­ли­че­ство таких ис­хо­дов равно

Вы­чис­лим те­перь ко­ли­че­ство бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов для по­яв­ле­ния со­бы­тия A. Рас­смот­рим сле­ду­ю­щие слу­чаи, опре­де­ля­е­мые раз­мер­ны­ми ти­па­ми вы­бран­ных колб.

1)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет три боль­шие колбы  — тип [Б, Б, Б]. Тогда про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше в ре­зуль­та­те опи­сан­ных ма­ни­пу­ля­ций ла­бо­ран­та ока­жет­ся рав­ным ве­ли­чи­не:

Такой выбор бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A. Ко­ли­че­ство эле­мен­тар­ных ис­хо­дов дан­но­го типа, оче­вид­но, равно

2)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет три ма­лень­кие колбы  — тип [м, м, м]. Про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше:

Такой выбор бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A. Ко­ли­че­ство ис­хо­дов в этом слу­чае равно

3)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет сна­ча­ла две боль­шие колбы, затем ма­лень­кую  — тип [Б, Б, м]. Про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше:

Такой выбор не бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A.

4)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет по­сле­до­ва­тель­но боль­шую, малую и боль­шую колбы  — тип [Б, м, Б]. Про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше:

Такой выбор бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A. Ко­ли­че­ство эле­мен­тар­ных ис­хо­дов в этом слу­чае равно

5)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет сна­ча­ла малую колбу, затем две боль­шие колбы  — тип [м, Б, Б]. Про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше:

Такой выбор не бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A.

6)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет сна­ча­ла две малые колбы, затем боль­шую колбу  — тип [м, м, Б]. Про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше:

Такой выбор не бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A.

7)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет по­сле­до­ва­тель­но малую, боль­шую и малую колбы  — тип [м, Б, м]. Про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше:

Такой выбор бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A. Ко­ли­че­ство эле­мен­тар­ных ис­хо­дов в этом слу­чае равно

8)  Ла­бо­рант вы­би­ра­ет сна­ча­ла боль­шую, затем две малые колбы  — тип [Б, м, м]. Про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в чаше:

Такой выбор не бла­го­при­ят­ству­ет по­яв­ле­нию со­бы­тия A. Вы­чис­ля­ем ве­ро­ят­ность со­бы­тия A (по фор­му­ле клас­си­че­ской ве­ро­ят­но­сти):

От­сю­да имеем

И, зна­чит,

Ответ: при