Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
Добавить в вариант
Основанием пирамиды TABCD служит прямоугольник со сторонами AB = 12 и AD = 4, а боковые ребра соответственно равны TA = 3, TD = 5, TC = 13. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину T, центр симметрии основания и точку M, лежащую на ребре BC? На какие части делит точка M ребро BC в этом случае?
отсюда
отсюда
Следовательно, боковое ребро TA перпендикулярно ABCD.
где прямая OF перпендикулярна TAB, 
Линия пересечения секущей плоскости и плоскости грани TAB: TK перпендикулярна TF и пересекает прямую AB в точке K. Если условие TK перпендикулярна TF не выполнено, то 
и 
— искомое сечение.
то
и 
тогда
точка M делит ребро BC на части — 
Основанием пирамиды TABCD служит прямоугольник ABCD. Высота пирамиды, равная h, совпадает с боковым ребром TA, а боковое ребро TC наклонено к плоскости основания под углом 30°. Плоскость, проходящая через ребро TC и параллельная диагонали основания BD, образует с плоскостью основания угол 60°. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания BD?
тогда 
обозначим 
Пусть 
тогда 
Проведем прямые: AF перпендикулярную TK, PQ перпендикулярную TK, QM параллельную (EC), 
и MN перпендикулярную BD; тогда MN — высота сечения BMD, имеющая наименьшую длину, причем 
Найдем площадь сечения: 
Через диагональ прямоугольного параллелепипеда и точку, лежащую на боковом ребре, не пересекающем эту диагональ, проведена плоскость так, чтобы площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью была наименьшей. Найдите длины сторон основания параллелепипеда, если известно, что диагонали сечения равны 20 и 8, а угол между ними 60°.
и прямую PK параллельную DL. Откладывая на боковом ребре BB1 отрезок 
получаем параллелограмм PAQC1, который будет сечением наименьшей площади; при этом AC1 — его большая, а 
тогда 
Отсюда 
то есть 
или 
Значит,
Боковые ребра треугольной пирамиды TABC образуют между собой прямые углы. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину C и середину стороны AB основания, если сторона основания AC = 5 и боковые ребра TA = 4, TB = 12? Какое из боковых ребер пересекает в этом случае плоскость и на какие части его делит?
где прямая HT перпендикулярна CG, и 
где прямая TD перпендикуляра CF. В условиях всех вариантов 
то есть нужно определить длину TH и положение точки N на ребре TB. 
то 
Боковые ребра треугольной пирамиды TABC образуют между собой прямые углы. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину C и середину стороны AB основания, если боковые ребра TA = 6, TB = 12, TC = 2? Какое из боковых ребер пересекает в этом случае плоскость и на какие части его делит?
и 
(при этом равенство в каждом из этих неравенств достигается тогда и только тогда, когда 
и 
соответственно), то:
причем это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда 
и с соответствующими противолежащими боковыми ребрами 1, 1, a.
и 
следовательно, 
откуда AC перпендикулярна плоскости DD1E, значит, BB1D1E — прямоугольник, поэтому 
тогда
и 
следует существование треугольника DD1E, где 
и 
Через D1 проведем прямую перпендикулярно плоскости DD1E, на ней отложим отрезок 
Полученные точки A, B, C, D определяют пирамиду DABC с ребрами, указанными в условиях задачи.
Деревянный параллелепипед, все стороны которого выражаются целым числом сантиметров, покрасили красной краской, а после этого распалили параллельно граням на кубики со стороной 1 см. Оказалось, что у трети получившихся кубиков хотя бы одна грань красная, а у оставшихся двух третей все грани не окрашены. Найдите длину параллелепипеда, если она на 2 см больше ширины и на 4 см больше высоты.
а высота равна 
Получится 
кубиков. Неокрашенных кубиков будет 
(«убирается» слой шириной в 1 кубик с каждой стороны). Получается уравнение 
Его корни: 
Первые два корня не подходят. Значит, 
и это параллелепипед 
Деревянный параллелепипед, все стороны которого выражаются целым числом сантиметров, покрасили синей краской, а после этого распалили параллельно граням на кубики со стороной 1 см. Оказалось, что у трети получившихся кубиков все грани не окрашены, а у оставшихся двух третей хотя бы одна грань синяя. Найдите высоту параллелепипеда, если она на 4 см меньше длины и на 2 см меньше ширины.
Раскрасим его вершины в черный и белый цвета так, чтобы вершины, соединенные ребром, были окрашены в разные цвета. Тогда расстояние между любыми двумя точками одного цвета равно 
Назовем две черные и две белые вершины, принадлежащие одной грани меньшего куба, соответствующими. Рассмотрим 4 белые вершины. Куб имеет 3 пары противоположных граней, следовательно, по принципу Дирихле какие-то две белые вершины принадлежат одной паре противоположных граней большего (единичного) куба. Возможны два случая.
Тогда 
Когда x пробегает полуинтервал 
искомая длина a принимает все значения из полуинтервала 
При этом все вершины получающегося малого куба будут лежать на гранях единичного куба.
не меньше 1. Поэтому и в этом случае 
втоpoe — при всех положительных a, третье — при 
где 
— так называемое золотое сечение, положительный корень квадратного уравнения 
Следовательно, треугольник с такими сторонами существует при 
При таких же а существует треугольник со сторонами 1, 
и 
Пусть далее значение a принадлежит отрезку 
для которой 
и 
для которой 
и 
(см. рис.). По доказанному выше такие точки существуют для всех 
Кроме того, треугольники ОAB и ОBC подобны по трем пропорциональным сторонам. Значит, 
и 
Поскольку 
угол AOB, лежащий напротив стороны a треугольника OAB, меньше 
Отсюда получаем, что 
и 
Из этих уравнений получаем 
и 
Аналогично доказывается, что координаты точки C также непрерывно зависят от a на этом отрезке. Следовательно, длина диагонали AC четырехугольника OABC, равная g(a), также непрерывно зависит от a на этом отрезке.
треугольники OAB и OBC являются равносторонними со стороной 1, поэтому 
При 
получаем 
функция 
принимает в концах этого отрезка значения разных знаков: 
и 
Поэтому найдется такое значение 
при котором 
и, следовательно, 
шаров. В основании треугольной пир амиды высотой в n рядов лежит 
Про тетраэдр PQRS известно, что PQ = 4, SR = 6, 
Вокруг тетраэдра описана сфера. Рассмотрим на этой сфере множество всех точек, сумма сферических расстояний от которых до точек P, Q, R, S не меньше 
Чему равна площадь этого множества? Сферическое расстояние между двумя точками на сфере — длина наименьшей дуги окружности большого круга, соединяющей эти точки.
Следовательно, радиус описанной сферы равен 3, а точка O — её центр.
сферическое расстояние между точками X и Y. По условию задачи необходимо найти площадь множества 
на сфере, состоящего в точности из точек M, для которых 
в неравенство (2), получаем 
то PQ не является диаметром, а потому 
Итак, ω есть множество точек на сфере, сферическое расстояние от которых до одной точки на сфере не превосходит сферического расстоянии до другой точки на сфере. В силу симметрии (относительно плоскости, проходящей через центр сферы перпендикулярно отрезку Q1P), ω — половина сферы и её площадь равна 
т. е. половина площади сферы радиуса 3.Про тетраэдр XYZT известно, что XY = 6, TZ = 8, 
Вокруг тетраэдра описана сфера. Рассмотрим на этой сфере множество всех точек, сумма сферических расстояний от которых до точек X, Y, Z, T не меньше 
Чему равна площадь этого множества? Сферическое расстояние между двумя точками на сфере — длина наименьшей дуги окружности большого круга, соединяющей эти точки.
Следовательно, радиус описанной сферы равен 4, а точка 
её центр.
то XY не является диаметром, а потому 
Итак, 
Назовём горой усечённый прямой круговой конус с длиной окружности нижнего основания 8, а верхнего основания — 6. Склон горы наклонён под углом 60° к плоскости основания. На окружности нижнего основания лежит точка A. Турист начинает подъём по склону из точки A к ближайшей точке верхнего основания, а затем продолжает свой путь по краю верхнего основания, и проходит расстояние 2 (см. рис). После этого он возвращается в точку A кратчайшим маршрутом. Чему равна длина обратного пути?
обозначим за α.
и 
относятся 2 : 1. Это значит, что 
а потому точка C1 лежит на прямой QC2. Учитывая, что QD — диаметр, получаем, что C1 — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую QC2. Тогда длина маршрута, идущего по верхнему основанию (см. верхний рис.) из C в D и по боковой поверхности из D в A будет не меньше длины ломаной (см. нижний рис.) C1DA1 и не меньше длины перпендикуляра, опущенного из A1 на прямую QC2.
Тогда отношение QC2 к QA1 равно отношению длин окружностей нижнего и верхнего оснований и равно 
что больше 
Значит, проекция QA1 на прямую QC2 меньше длины отрезка QC2, что и требовалось. 
Тогда 
Назовём горой усечённый прямой круговой конус с длиной окружности нижнего основания 10, а верхнего основания — 9. Склон горы наклонён под углом 60° к плоскости основания. На окружности нижнего основания лежит точка A. Турист начинает подъём по склону из точки A к ближайшей точке верхнего основания, а затем продолжает свой путь по краю верхнего основания, и проходит расстояние 3 (см. рис). После этого он возвращается в точку A кратчайшим маршрутом. Чему равна длина обратного пути?
и 
относятся 2 : 1. Это значит, что 
что больше 
Тогда 
Точки M, N и K расположены на боковых ребрах AA1, BB1 и CC1 треугольной призмы ABCA1B1C1 так, что AM : AA1 = 1 : 2, BN : BB1 = 1 : 3, CK : CC1 = 1 : 4. Точка P принадлежит призме. Найдите наибольшее возможное значение объема пирамиды MNKP, если объем призмы равен 16.
при котором MM1 максимально. Заметим, что из точек M1, N1, K1 хотя бы одна лежит в исходной призме, откуда 
Точки M, N и K расположены на боковых ребрах AA1, BB1 и CC1 треугольной призмы ABCA1B1C1 так, что AM : AA1 = 2 : 3, BN : BB1 = 3 : 5, CK : CC1 = 4 : 7. Точка P принадлежит призме. Найдите наибольшее возможное значение объема пирамиды MNKP, если объем призмы равен 27.
