Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
Добавить в вариант
В треугольной пирамиде ABCD с основанием ABC боковые ребра попарно перпендикулярны, DA = DB = 2, DC = 5. Из точки основания испускают луч света. Отразившись ровно по одному разу от каждой боковой грани (от ребер луч не отражается), луч попадает в точку на основании пирамиды. Какое наименьшее расстояние мог пройти луч?
В треугольной пирамиде ABCD с основанием ABC боковые ребра попарно перпендикулярны, DA = DB = 2, DC = 5. Из точки основания испускают луч света. Отразившись ровно по одному разу от каждой боковой грани (от ребер луч не отражается), луч попадает в точку на основании пирамиды. Какое наименьшее расстояние мог пройти луч?
а с другой 
шаров. В основании треугольной пирамиды высотой в n рядов лежит 
уравнение равносильно 
а при 
равносильно 
Таким образом, исходная кривая состоит из двух окружностей. Она показана на рисунке, там же изображены возможные прямые, имеющие две точки касания с кривой.
Следовательно, 
Поэтому уравнения внешних касательных будут: 
то именно она и будет доставлять минимальное расстояние. Для справки уравнения двух внутренних касательных: 
В треугольной пирамиде SABC угол ASB при вершине S равен 30°, а боковое ребро SC наклонено к плоскости грани ASB под углом 45°. Сумма длин боковых ребер пирамиды равна 9. Найти наибольшее возможное при этих условиях значение объема пирамиды.
CK — перпендикуляр на грань ASB. Тогда 
Тогда наибольшее значение произведения abc равно 
а наибольшее значение объема пирамиды равно 
величина 
и уравнение не имеет решений, поэтому искомый радиус 
При 
уравнение равносильно системе 
и расстоянием между плоскостями, равным 
Второе уравнение задает семейство плоскостей с нормальным вектором 
и расстоянием между плоскостями, равным 
Точки P, Q и K расположены на боковых ребрах SA, SB, SC треугольной пирамиды SABC так, что 
Объем пирамиды SABC равен 15. Точка M принадлежит треугольнику ABC основания пирамиды. Найти максимально возможное значение объема пирамиды MPQK.
где hC — высота, опущенная из вершины C. Площадь основания 
где hK — высота, опущенная на плоскость SAB из вершины K. Так как 
то также и 
Аналогично в том случае, когда точка M совпадает с вершиной B, то 
a если когда точка M совпадает с вершиной C, то 
Таким образом, наибольшее значение объема 
В высокий вертикальный цилиндрический сосуд с радиусом основания 2r налита вода. Высота столба воды h. В сосуд опускают цилиндрическую палку с радиусом сечения r и плотностью, составляющей 
от плотности воды. При какой минимальной длине палка коснется дна?
Потому 
Палка коснется дна, если расстояние от первоначального уровня до ее нижней точки будет равно первоначальной высоте уровня воды в стакане 
точка E делит сторону CD основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD, боковое ребро которой наклонено к основанию под углом 30°, если известно, что площадь треугольника SBE минимально возможная?
отрезок OM перпендикулярен отрезку BE, 
—
—
Тогда 
при котором функция 
поэтому единственной критической точкой 
является точка, для которой 
а 
то найденная точка является точкой минимума. С учетом того, что 
получаем 
На сфере радиуса 1 требуется расположить n попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины α. Докажите, что 
это возможно; 
это невозможно.
и 
Тогда существует большая окружность 
касающаяся 
в (диаметрально противоположных) точках 
и 
соответственно. Повернув 
на угол 
вокруг 
получим большую окружность 
также касающуюся двух окружностей в точках 
и 
соответственно.
окружности 
полученные из неё поворотами. Все эти дуги не пересекаются, поскольку любая горизонтальная плоскость пересекает эти дуги в вершинах правильного 
можно расширить до ближайших к ней (но не лежащих на ней) точек пересечения 
с другими окружностями 
Заметим, что точки пересечения 
лежат в (вертикальной) плоскости, симметрия относительно которой меняет эти окружности местами (эта плоскость содержит, например, биссектрису угла 
Отсюда легко видеть, что ближайшими к нашей дуге будут точки пересечения с 
и с 
и каждую дугу 
взять близкими к центру сферы, то точки пересечения 
и 
Поэтому длины полученных дуг можно сделать сколь угодно близкими к 
что и требовалось.
— попарно не пересекающиеся дуги больших окружностей с длинами 
при положительных 
мы считаем, что они содержат свои концы. Мы докажем, что
дугу большой окружности, дополнительную к 
(её длина равна 
Рассмотрим все (открытые) полусферы, содержащие 
пусть 
—
то есть когда её полюс лежит в открытых полусферах с полюсами 
Значит, множество 
полюсов таких полусфер — это пересечение этих двух полусфер, то есть сферический «ломтик» раствора 
его площадь равна 
отсюда вытекает требуемое неравенство. Предположим, что некоторая точка Z лежит в 
тогда полусфера с полюсом Z содержит 
и 
а значит, дополнительная к ней (замкнутая) полусфера H пересекает 
и 
по целым полуокружностям (а не их частям). Но любые две таких полуокружности на полусфере H пересекаются (ибо концы любой — диаметрально противоположные точки на границе полусферы). Это противоречит нашему предположению.
сумма которых меньше 
на сфере можно расположить попарно не пересекающиеся дуги длин 
тем же методом, что и в решении пункта а).Боковые рёбра SA, SB и SC треугольной пирамиды SABC взаимно перпендикулярны. Точка D лежит на основании 
от ребра SA, на расстоянии 
от ребра SB и на расстоянии 
от ребра SC . Какое наименьшее значение может иметь объём пирамиды SABC при этих условиях?
из точки D на плоскости SBC, SAC и SAB соответственно. Обозначим 
Согласно условию составим систему уравнений
Обозначим длины рёбер SA, SB и SC через a, b и c соответственно. Поскольку точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, выполняется 
поэтому 
Равенство имеет место при 
Расстоянием между двумя точками на поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDA′B′C′D′ называют наименьшую длину ломаной на поверхности, соединяющей эти точки. По поверхности параллелепипеда с размерами 
ползет муравей так, что расстояние на поверхности между ним и вершиной A всегда постоянное и равно 
Нарисовать замкнутую траекторию движения муравья по поверхности параллелепипеда и найти ее длину.
с центром в точке A. Длина пройденного пути DE равна 
длины окружности радиуса 
то есть 
и 
отсюда
одинаковых шаров в виде правильной четырёхугольной пирамиды. Сколько шаров лежит в основании? Oтвет: 
имеют общую грань. Сечение одного из этих кубов некоторой плоскостью — треугольник площади 16. Сечение другого той же плоскостью — четырехугольник. Какое наибольшее значение может принимать его площадь.
Тогда 
То есть наша задача равносильна задаче о нахождении максимального коэффициента подобия.
и 
C одной стороны, нам надо минимизировать z, а с другой — максимизировать площадь. Очевидно, для этого x и y должны быть максимальны, то есть равны ребру ℓ.
то есть 
откуда 
Подставляя эти значения в формулу, получаем: 
а значит, данное уравнение на k имеет не больше одного решения. Конкретное решение в большинстве вариантов легко подбирается из этого равенства, так как оно целочисленное.
что оказывается верным. Ответ получается как разность площадей двух треугольников и равен 
У параллелепипеда a × b × c грани разбиты на единичные клетки. Имеется также большое количество пятиклеточных полосок, которые можно перегибать по границам клеток. При каких a, b и c три грани параллелепипеда, имеющие общую вершину, можно полностью обклеить полосками без наложений и зазоров так, чтобы клетки граней и полосок совпадали?
и оно не кратно 5 (крайние слагаемые делятся на 5, среднее — нет). Поэтому полностью обклеить эти грани пятиклеточными полосками невозможно. Длины ребер a1, a2, a3 и b1, b2, b3 прямоугольных параллелепипедов PA и PB — целые числа. Если в параллелепипеде PA увеличить на 1 длину одного из ребер a1, a2 или a3 то отношение объемов 
изменится на 3,5 или на 7 единиц соответственно. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение отношение объемов 
Условие: 
и 
В этом случае, целое число C делится на 3, 5 и 7. С учетом взаимной простоты этих чисел, 
и 
Покажем, что 
реализуется как отношение объемов некоторых PA и PB. Например, 
Тогда 
По диагоналям оснований AC и B1D1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром a ползут два муравья Гоша и Леша. Движение они начали одновременно из точек A и B1 соответственно с постоянной скоростью, причем скорость Леши была в два раза больше скорости передвижения Гоши и закончили, когда Леша оказался в точке D1. Какое наименьшее расстояние разделяло Гошу и Лешу во время движения?
откуда
на отрезке 
Функция f(t) — квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при 
—
Проверяем 
