Существует ли такой выпуклый четырехугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?
Пусть α — некоторое положительное число. Треугольник со сторонами 1, α и α2 существует тогда и только тогда, когда выполняются три неравенства:
Первое из этих неравенств выполнено при 
втоpoe — при всех положительных a, третье — при 
где 
— так называемое золотое сечение, положительный корень квадратного уравнения 
Следовательно, треугольник с такими сторонами существует при 
При таких же а существует треугольник со сторонами 1, 
и 
Пусть далее значение a принадлежит отрезку
В декартовой системе координат Оxy отметим точки O(0, 0), B(1, 0), точку A в полуплоскости 
для которой 
и 
а также точку C в полуплоскости 
для которой 
и 
(см. рис.). По доказанному выше такие точки существуют для всех 
Кроме того, треугольники ОAB и ОBC подобны по трем пропорциональным сторонам. Значит, 
и 
Поскольку 
угол AOB, лежащий напротив стороны a треугольника OAB, меньше 
Отсюда получаем, что
и
Следовательно, ОАBC — выпуклый четырехугольник при всех указанных значениях a.
Пусть точка A имеет координаты (x; y), тогда 
и 
Из этих уравнений получаем
и 
Эти выражения непрерывно зависят от a на отрезке 
Аналогично доказывается, что координаты точки C также непрерывно зависят от a на этом отрезке. Следовательно, длина диагонали AC четырехугольника OABC, равная g(a), также непрерывно зависит от a на этом отрезке.
При 
треугольники OAB и OBC являются равносторонними со стороной 1, поэтому 
При 
получаем
Значит, непрерывная на отрезке 
функция 
принимает в концах этого отрезка значения разных знаков: 
и 
Поэтому найдется такое значение 
при котором 
и, следовательно,
Таким образом, искомый четырехугольник существует.
Ответ: да, существует.