Всего: 90 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–90
Добавить в вариант
Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность радиуса 7.
а) Найдите AC.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём 
(точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь
и 
либо 
и 
Второй случай невозможен, так как 
—
т. е. 
Тогда остаётся первый случай и 
Но четырёхугольник ABCD вписан в окружность, а значит, 
По свойству отрезков касательных к окружности 
то 
Плошать треугольника ACD 
и 
пусть 
По теореме Пифагора для треугольника ABC получаем 
и 
и площадь треугольника ABC равна 
Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна 
Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность радиуса 4.
а) Найдите AC.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём 
(точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь четырёхугольника ABCD.
либо 
и 
пусть 
и 
и площадь треугольника ABC равна 
Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна 
б) 
Окружность 
радиуса 6 с центром O вписана в остроугольный треугольник CFM и касается его сторон CM и FM в точках P и K соответственно. Окружность 
радиуса 
с центром T описана около треугольника PKM.
а) Найдите OM.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника CFT к площади треугольника CFM равно 
Найдите длину биссектрисы MA треугольника CFM, а также его площадь.
Отрезок OM равен удвоенному радиусу этой окружности, т. е. 
через B, высоту треугольника, проведённую из вершины M, через MH. Пусть 
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому 
Из треугольника POM находим, что 
Отсюда получаем 
из треугольника AOB получаем, что 
где 
—
получаем, что 
откуда 
тогда 
Окружность радиуса 4 с центром O вписана в остроугольный треугольник EFQ и касается его сторон FQ и EQ в точках M и P соответственно. Окружность радиуса 
с центром T описана около треугольника PQM.
а) Найдите OQ.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника FTE к площади треугольника EFQ равно
Найдите длину биссектрисы QA треугольника EFQ, а также его площадь.
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому 
Из треугольника POQ находим, что 
Отсюда получаем 
из треугольника AOB получаем, что 
где 
—
получаем, что 
откуда 
тогда 
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке D. Отрезок BD повторно пересекает окружность в точке E. Точки F и G на окружности таковы, что FE || BC и GE || BA. Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей треугольников DEF и DEG, делится пополам биссектрисой угла GDF.
(Ф. Бахарев)
и 
—
и 
Несложно показать, что касательная, параллельная хорде, проходит через середину дуги, которую стягивает хорда. Из чего следует, что точка X лежит на прямой 
а точка Y — на прямой 
По свойству касательной 
поэтому треугольники BXE и BDX подобны и имеет место равенство 
И по аналогичным соображениям 
Но 
а значит, 
и 
Подставляя в последнее равенство, получаем, что 
и биссектриса угла 
пересекает вторично вписанную в треугольник 
окружность в точке 
Тогда 
и 
равны, и 
Подставляя эти равенства в (*), получаем 
получаем равенство площадей 
что, очевидно, возможно только в том случае, когда 
делит 
пополам.
точку касания вписанной окружности со стороной 
пусть 
и 
Torда M 
и 
как отрезки касательных. Также нетрудно подсчитать, что 
и 
Далее заметим, что точка K лежит либо вне описанной окружности треугольника 
либо на этой окружности, поэтому 
Мы знаем, чему равны углы, смежные к данным, поэтому легко можем вычислить и их самих: 
Откуда получаем неравенство 
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке D. Отрезок BD повторно пересекает окружность в точке E. Точки F и G на окружности таковы, что
и 
Докажите, что прямая, соединяющая центры вписанных окружностей треугольников DEF и DEG, перпендикулярна биссектрисе угла B.
(Ф. Бахарев)
Подставляя в последнее равенство, получаем, что 
и биссектриса угла GDF пересекает вторично вписанную в треугольник ABC окружность в точке E1. Тогда 
и 
Подставляя эти равенства в (∗), получаем 
т. е. 
В треугольнике ABC на стороне AB нашлась такая точка X, что
Точка Y симметрична центру I вписанной окружности треугольника ABC относительно точки X. Докажите, что YIB перпендикулярно AB, где IB — центр вневписанной со стороны AC окружности треугольника ABC.
(Ф. Бахарев)
и 
в частности, 
полупериметр треугольника ABC. Пусть D — точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны 
а E — точка касания вписанной окружности со стороной AB. Тогда 
перпендикулярно AB, поэтому достаточно показать, что DY перпендикулярно AB (в этом случае точки 
D и Y лежат на одной прямой и она перпендикулярна AB). Для этого проверим, что треугольники XDY и XIE равны по двум сторонам и углу (этого достаточно, поскольку 
по условию, 
как вертикальные, поэтому нужно линг проверить равенство сторон XD и XE. Для этого выразим их длины через x, y и z: 
В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AC опушена высота BН. Точки X и Y — центры окружностей, вписанных в треугольники ABH и СВН соответственно. Прямая ХY пересекает катеты AB и BC в точках P и Q. Найдите площадь 
Отрезки HX и HY относятся как радиусы окружностей, вписанных в подобные треугольники AHB и BHC, поэтому 
то есть треугольник BPQ равнобедренный. Заметим, что треугольники PBX и НBX равны. Действительно, сторона BX у них общая, 
и 
и
и 
треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AIC пересекает 
получаем, что I лежит на серпере к AC. Отсюда следует равнобедренность.
BM с вписанной окружностью за 
Тогда 
—
—
Поскольку точки M и N по построению лежат вне треугольника ABC, а точки 
и 
внутри, точки M и N лежат на лучах 
и 
дальше, чем 
1.2 Дан треугольник DEF. Окружность, проходящая через вершины E и F пересекает стороны DE и DF в точках X и Y соответственно. Биссектриса угла 
пересекает DF в точке Y', а биссектриса угла 
пересекает DE в точке X'. Докажите, что XY и X'Y' параллельны.
(теорема Фалеса). По свойству биссектрисы,
I — точка пересечения биссектрис AM и BK, S — середина KM, вписанная в треугольник окружность касается гипотенузы в точке H. Тогда точки S, I и H лежат на одной прямой. 
по гипотенузе и острому углу, следовательно, 
то есть KB — биссектриса внешнего угла 
а AI — биссектриса его внутреннего угла. Значит, I — центр вневписанной окружности 
—
Пусть R — середина гипотенузы AB. Тогда PS и RQ являются средними линиями в треугольниках 
и 
поэтому PS, AK и QR — параллельны между собой, также 
значит, PSQR — параллелограмм. Более того, 
так как его стороны сонаправлены сторонам угла 
Значит, PSQR — прямоугольник. Обозначим через 
Поскольку 
точка H лежит на окружности 
Следовательно, 
(как вписанные углы, опирающиеся н а диаметр PQ).
В треугольнике ABC углы A и B равны 45° и 30° соответственно, СM — медиана. Окружности, вписанные в треугольники ACM и BCM касаются отрезка CM в точках D и E. Найдите площадь треугольника ABC, если длина отрезка DE равна 
Следовательно, 
и 
Тогда 
По теореме синусов имеем 
то есть 
Таким образом, 
и 
и 
Построим отрезки DG и AC, FH и AC перпендикулярные между собой и 
то есть 
Тогда
или 
или 
то: 
На диагонали AC ромба ABCD выбрана точка K, удаленная от прямых AB и BC на расстояния 8 и 2 соответственно. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 3. Найдите сторону ромба ABCD и радиус окружности, вписанной в этот ромб.
—
—
то
то есть 
Пусть BP и AD, CN и AD — перпендикулярны между собой. В треугольнике ABP по теореме Пифагора имеем: 
и 
В треугольнике CDN по теореме Пифагора имеем: 
и 
и 
2) 
и 
Так как 
то 
и 
Находим стороны трапеции 
и высоту 
Из треугольника DBP имеем по теореме Пифагора находим BD: 
и 
Найти: BC и AD.
Тогда 
или 
но 
отсюда 
а значит,
и 
Треугольники AO2K и AHC подобны, следовательно, 
и 
точка OR — центр описанной окружности и точка O2 — центр вписанной окружности.
но 
так как центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Тогда 
откуда 
Сумма 