Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке D. Отрезок BD повторно пересекает окружность в точке E. Точки F и G на окружности таковы, что FE || BC и GE || BA. Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей треугольников DEF и DEG, делится пополам биссектрисой угла GDF.
(Ф. Бахарев)
Пусть X и Y — точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AB и BC соответственно, а точки
и 
—
и 
Несложно показать, что касательная, параллельная хорде, проходит через середину дуги, которую стягивает хорда. Из чего следует, что точка X лежит на прямой 
а точка Y — на прямой 
По свойству касательной 
поэтому треугольники BXE и BDX подобны и имеет место равенство 
И по аналогичным соображениям 
Но 
а значит,
Далее заметим, что по лемме Мансиона 
и 
Подставляя в последнее равенство, получаем, что 
Теперь мы можем доказывать, что биссектриса угла GDF делит пополам отрезок XY, и это будет равносильно утверждению задачи. Пусть еще 
и биссектриса угла 
пересекает вторично вписанную в треугольник 
окружность в точке 
Тогда
и 
В силу последнего равенства, дуги, а значит, и хорды, 
и 
равны, и 
Подставляя эти равенства в (*), получаем
Домножая последнее равенство на 
получаем равенство площадей 
что, очевидно, возможно только в том случае, когда 
делит 
пополам.