Всего: 90 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–90
Добавить в вариант
Из отрезков 3, 5, 7 и 9 составлен четырёхугольник, в который вписана окружность. К ней проведены две касательные: одна пересекает одну пару соседних сторон четырехугольника, а другая — пару оставшихся. Найдите разность периметров треугольников, отсеченных от четырехугольника этими касательными.
как K, L, M, N, соответственно (см. рис.). Пусть касательные в точках E, F отсекают треугольники DGH и PBQ. Заметим, что периметр DGH равен 2DM, а периметр 
т. е. их разность 
Обозначим 
и 
Получим уравнения: 
Вычитая из третьего уравнения второе, получим 
откуда 
Проводя с другой стороны касательные, получим аналогично 
В треугольник ABC площади 25 вписана окружность с центром в точке O, касающаяся сторон AB, BC и AC в точках L, M и N соответственно. При этом AN : NC = 3 : 7. Найдите площадь треугольника AND, где D — точка пересечения прямых AO и NM. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
и 
Тогда из подобия треугольников MFP и MCN, получаем
(углы в равнобедренном треугольнике EAP); 
(параллельность EP и AC). Значит, AP — биссектриса, т. е. AO и NM пересекаются в точке P, лежащей на средней линии. 
В треугольник ABC площади 24 вписана окружность с центром в точке O, касающаяся сторон AB, BC и AC в точках L, M и N соответственно. При этом AN : NC = 1 : 3. Найдите площадь треугольника AND, где D — точка пересечения прямых AO и NM. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
Тогда 
Через центр О вписанной в треугольник АВС окружности проведена прямая, параллельная АС, которая пересекает его боковые стороны АВ и ВС в точках М и К соответственно. Вторая окружность вписана в треугольник МВК и касается его боковой стороны МК в точке Е, а первая окружность касается стороны АВ в точке F. Найдите длину отрезка ЕF, если периметр треугольника МВК равен 6, а АС = 3.
то BB1 — биссектриса ABC, следовательно, OH1 — радиус вписанной окружности. Прямая ВН — высота треугольника ABC, поэтому 
(по двум углам угол B1 — общий, 
Запишем соотношение подобия 
— периметр треугольника МВК. 
и
Итак, 
Тогда, 
угол между ОM и CO равен 
постоянна и равна 
Учитывая, что 
получим
Найдите угол B.
и 
Тогда в равнобедренном треугольнике AKM угол при основании равен 
По теореме о касательной и секущей имеем 
и 
то есть точка S делит сторону AC треугольника AQC на части, пропорциональные прилежащим сторонам. В таком же отношении эту сторону делит и основание биссектрисы угла Q в этом треугольнике. Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, определена однозначно, отрезок QS совпадает с биссектрисой.
как опиравшиеся на диаметр, поэтому O является точкой пересечения серединных перпендикуляров KO и LO треугольника AQC, то есть центром его описанной окружности, причем общая точка Q этих окружностей лежит на линии их центров. (Этот факт можно обосновать и иначе: гомотетия с центром в точке Q и коэффициентом 2 переводит вписанную окружность треугольника ABC в описанную окружность треугольника AQC, поэтому эти окружности касаются в точке Q.) 
и 
(первое равенство из равенства отрезков касательных), откуда 
(первое равенство из равенства отрезков касательных, второе очевидно).
Аналогично, прямоугольным является и треугольник BIC.
и 
Следовательно, IK и IL — высоты в треугольниках AID и BIC соответственно. Воспользуемся известным фактом, что в прямоугольном треугольнике квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равняется произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. Тогда 
а также 
По равенству отрезков касательных имеем 
откуда 
и 
В прямоугольнике ABCD точка M лежит на стороне BC таким образом, что радиус окружности, вписанной в четырехугольник AMCD, равен a. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABM, равен b.
Применяя свойство четырехугольника, описанного около окружности и формулу длины радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, имеем 
и 
откуда имеем 
то 
(где F — точка касания стороны AB и вписанной в ABM окружности). Значит, 
В прямоугольнике ABCD точка M лежит на стороне BC таким образом, что радиус окружности, вписанной в четырехугольник AMCD, равен 5. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABM, равен 3.
так как нас интересуют лишь положительные значения x.
тогда по условию 
Треугольники APO и AKO равны по двум сторонам 
и углам 
между ними, следовательно, 
Аналогично, равны треугольники CMO и CKO, откуда 
Отсюда следует 
—
поэтому 
следовательно, 
и точка M принадлежит отрезку ВН и наоборот.
и гипотенузам 
следовательно, равны углы EPO и HMO. При этом, по доказанному в пункте 2), если ЕРО внутренний для четырёхугольника BPOM, то 
Из треугольника АОC находим 
градусов.
По теореме косинусов 
равна половине длины 
а длина AQ вдвое больше длины 
Следовательно, длина стороны AB равна 
Следовательно, 
a высота из вершины I равна 
Эта высота и отрезки IP и IQ равны, как радиусы вписанной окружности, поэтому 
откуда 
Окружность ω с центром в точке I вписана в выпуклый четырехугольник ABCD и касается стороны AB в точке M, и стороны CD — в точке N, при этом 
На прямой MN выбрана точка 
такая, что AK = AM. В каком отношении прямая DI может делить отрезок KN? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.
Тогда треугольник PMN равнобедренный, а значит, 
и, следовательно, 
или смежных с ними — 1 балла.Точка M расположена на стороне AD прямоугольника ABCD так, что в четырехугольник BCDM можно вписать окружность. Найти отношение площади четырехугольника BCDM к площади прямоугольника, если отношение длин сторон прямоугольника
тогда
находим 
отсюда 
Вычислим площадь трапеции BCDM: 
Следовательно, 
С другой стороны 
как вписанный. Стороны AB и BD равны радиусу окружности, поэтому площадь равна 
В треугольнике ABC, в котором сумма сторон AC и BC в
раз больше стороны AB, вписана окружность, касающаяся сторон BC, AC и AB в точках M, N и K соответственно. Отношение площади треугольника MNC к площади треугольника ABC равно r. Найдите при данных условиях:
а) наименьшее значение r;
б) все возможные значения r.
(знак равно достигается, только в случае 
то 
Из условия существования треугольника вытекают неравенства: 
и 
учитывая то, 
Функция 
монотонно убывает на (0; 1) и возрастает на 
Поскольку 
то 
б) 