Всего: 132 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Однако DX — это высота равнобедренного треугольника DIJ, проведенная к боковой стороне, что равно расстоянию от J до прямой DI, но DB — расстояние от B до той же прямой. Значит, 
(последнее неравенство следует из того, что 
—1.2 Дан треугольник DEF. Окружность, проходящая через вершины E и F пересекает стороны DE и DF в точках X и Y соответственно. Биссектриса угла 
пересекает DF в точке Y', а биссектриса угла 
пересекает DE в точке X'. Докажите, что XY и X'Y' параллельны.
Развернуть
(теорема Фалеса). По свойству биссектрисы,
то получаем, что I лежит на серпере к AC. Отсюда следует равнобедренность.1.4 Пусть T — точка пересечения прямых AP и CQ, а K — точка пересечения прямых MP и NQ. Докажите, что T, K и I лежат на одной прямой.
Развернуть
Тогда CI — биссектриса угла PCQ, AI — биссектриса угла PAQ, и мы видим в точностью картинку из пункта (2). Таким образом, прямая PQ параллельна LS. Комбинируя это с утверждением пункта (3) (MN и PQ параллельны) получаем, что треугольники MNI и TPQ перспективны относительно LS. Пользуясь обратной теоремой Дезарга получаем, что прямые IT, MP 1.2 Пусть X такая точка пересечения окружностей 
1 2, что X и B лежат по разные стороны относительно прямой AC. Докажите, что тогда точка X лежит на медиане BM треугольника ABC.
Развернуть
а 
Так как AHCX — вписанный четырёхугольник, 
Значит, 
а X симметрична B относительно 
Из чего очевидно следует утверждение задачи.1.3 Пусть Y — такая точка пересечения окружностей 
и 
что точки Y и B лежат по одну сторону относительно прямой AC. Докажите, что точка Y лежит на медиане BM.
Развернуть
и 
Отсюда получаем 
что означает, что P лежит на аполлониевой окружности w2, а значит, совпадает 1.4 Докажите, что касательная к окружности в точке пересечения с медианой BM пресекает прямую AC в середине
Развернуть
тому, что w2 неподвижна при инверсии относительно w1. Достаточно проверить, что какая-то из точек w2 (не лежащих на w1) перейдёт в точку на w2 при инверсии относительно w1. Обозначим за O — центр окружности w1. Рассмотрим точку L и инверсную ей точку L′, тогда 
и L′ лежит на Аполлониевой окружности w2.На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D, а на отрезке AD выбрана такая точка E, что 
Точка M — середина отрезка BD, а точка H — основание перпендикуляра, опущенного из точки A на сторону BC. На серединном перпендикуляре к отрезку DE выбрали такую точку K, а на отрезке AH выбрали такую точку L, что DKLM — параллелограмм. Докажите, что прямые AC и LM перпендикулярны.
и четырехугольник ACB′E вписанный. Поэтому 
Пусть N — основание перпендикуляра, опущенного из точки K на BC. Тогда 
поэтому 
Дан остроугольный треугольник ABC. В него вписан прямоугольник KLMN так, что точки M и N лежат соответственно на сторонах AB и AC, точки K и L — на стороне BC. Пусть AD — медиана треугольника ABC, E — середина его высоты, опущенной из вершины A, O — точка пересечения диагоналей прямоугольника. Найдите угол DOE.
На окружности радиуса 9 см отмечена дуга AB, содержащая 120°. Через концы этой дуги из одной точки проведены две касательные к окружности. В фигуру, ограниченную дугой AB и касательными, вписана меньшая окружность. Найти ее радиус.
Значит,
и в треугольнике OO1C: 
Необходимо найти 
Тогда
2.1 Рассмотрим остроугольный треугольник ABC и его ортоцентр H. Оказалось, что точки B, O, H и C лежат на одной окружности. Докажите, что точка I лежит на той же окружности.
Развернуть
а так же, по условию, 
Следовательно, 
то есть, 
При этом
Из этого следует, что XY — общая ось симметрии двух равнобедренных треугольников, т. е., действительно, серпер AI. Вместо трилистника можно, разумеется, воспользоваться более школьными соображениями (впрочем, его несложно и вывести случайно).
По неравенству треугольника 
Осталось доказать, что 
Проделываем какие-то рассуждения (см. выше) и понимаем, что 
и 
Найти 
тогда 
диаметр окружности. Значит, 
диагональ квадрата EFGH, отсюда 
Итого:
Из точки A, лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая. Расстояние от точки A до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см. Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.
и 
Найти: R.
тогда 
Получаем:
откуда 
то есть 
см2 проведена окружность, для которой две стороны треугольника являются касательными. Найти радиус этой окружности.
и 
или 
Замечаем, что 
следовательно, 
а значит 
Необходимо найти AB. Тогда 
(т. к. AC и OC перпендикулярны) и 
следовательно, 
Значит,
и ABCD — квадрат. Необходимо найти SABCD. Пусть 
и 
В треугольнике EOC:
В треугольнике ABC, площадь которого равна 20, проведена медиана CD. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что 
а центр окружности, вписанной в треугольник ACD, лежит на окружности, описанной около треугольника BCD.
Значит, треугольники ABQ и ACQ равны по стороне и двум углам. Следовательно, 
то есть треугольник ABC равнобедренный. 
тогда 
поэтому с учётом условия получаем уравнение 
имеющее два корня 
или 
Радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 
или 
В треугольнике со сторонами AB = BC = 5 и AC = 6 на основании AC выбрана точка N так, что AN : NC = 2 : 1. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ABN и CBN. При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
—
—
а 
—
Треугольники ABC и 
подобны.
получаем ответ 
В треугольнике со сторонами 
и AC = 6 на основании AC выбрана точка N так, что AN : NC = 2 : 1. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ABN и CBN. При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
проведенная через точки M, N и C, касается стороны AB. Длина стороны AC равна 2. Найти синус угла 
—
—
как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и MN. Поэтому треугольники AMC и CNM подобны. Отсюда 
