Всего: 132 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Найдите AC, если 
тогда 
По теореме о двух секущих 
откуда 
общий), а коэффициент подобия равен 
Найдите AB, если 
тогда 
По теореме о двух секущих 
откуда 
— общий), а коэффициент подобия равен 
Окружность проходит через вершины A и N треугольника ACN и пересекает его стороны AC и CN соответственно в точках B и K, отличных от вершин треугольника. Отношение площади треугольника BCK к площади треугольника ACN равно 
а) Найдите отношение 
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площадей треугольников BCN и ACK равно 
Найдите 
По теореме об отношении площадей треугольников с общим углом 
Пусть 
тогда 
Окружность проходит через вершины L и M треугольника FLM и пересекает его стороны FL и FM соответственно в точках A и H, отличных от вершин треугольника. Отношение площади треугольника FLM к площади треугольника AFH равно 
а) Найдите отношение 
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площадей треугольников AFM и FHL равно 
Найдите 
Значит, треугольники 
и 
подобны по двум сторонам и углу между ними 
— общий). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 
Следовательно, 
и 
По теореме об отношении площадей треугольников с общим углом 
Пусть 
тогда 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности 
и 
равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы BAD и BCD соответственно, при этом первая касается стороны AD в точке K, а вторая касается стороны BC в точке T.
а) Найдите радиус окружности 
если AK = 2, CT = 8.
б) Пусть дополнительно известно, что точка O2 является центром окружности, описанной около
треугольника BOC. Найдите угол BDC.
и 
являются биссектрисами углов BAD и BCD (центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла). Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противоположных углов BAD и BCD равна 
поэтому сумма их половин — углов 
и 
— равна 
Пусть 
Тогда 
получаем: 
как радиусы окружности, описанной около треугольника BOC, поэтому высота этого треугольника 
также является его медианой. Точки 
и T лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC). Далее находим: 
и O могут лежать либо по одну сторону от прямой BC, либо по разные стороны от неё. 
б) 
или 
В углы A и B треугольника ABC вписаны соответственно окружности с центрами O1 и O2 равного радиуса, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Данные окружности касаются стороны AB в точках K1, K2 и K соответственно, при этом AK1 = 4, BK2 = 6,
а) Найдите длину отрезка AK.
б) Пусть окружность с центром O1 касается стороны AC в точке K3. Найдите угол CAB, если известно, что точка O1 является центром окружности, описанной около треугольника OK1K3.
являются биссектрисами углов A и B треугольника, поэтому они пересекаются в точке O — центре вписанной окружности. Обозначим радиусы окружностей с центрами O1 и O2 через r, а радиус вписанной окружности через R. Треугольники ОKВ и 
подобны, коэффициент подобия равен 
поэтому 
Аналогично 
откуда 
Опустим из точки 
перпендикуляр 
на отрезок 
Тогда 
В углы B и C треугольника ABC вписаны соответственно окружности с центрами O1 и O2 равного радиуса, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Данные окружности касаются стороны BC в точках K1, K2 и K соответственно, при этом BK1 = 4, CK2 = 8, BC = 18.
а) Найдите длину отрезка CK.
б) Пусть окружность с центром O1 касается стороны AB в точке K3. Найдите угол ABC, если известно, что точка O1 является центром окружности, описанной около треугольника OK1K3.
являются биссектрисами углов C и B треугольника, поэтому они пересекаются в точке O — центре вписанной окружности. Обозначим радиусы окружностей с центрами O1 и O2 через r, а радиус вписанной окружности через R. Треугольники ОКВ и 
подобны, коэффициент подобия равен 
Аналогично 
откуда 
а сумма соответствующих углов между хордой и касательной 
и 
по симметрии. Отсюда симметричные отрезки RA, RB образуют со сторонами углы, равные 
и этому же равен 
(т. к. 
и наши две окружности превращаются в прямые BC, BD, образующие прямой угол, а стороны исходного угла — в пару окружностей, вписанных в этот угол, перпендикулярных друг другу (как и соответствующие прямые до инверсии) и пересекающихся в точках A, i(R). Вычислим отношение их радиусов — это легко делается применением теоремы Пифагора к треугольнику AO1O2 со сторонами r1, r2, 
(O1, O2 — центры новых окружностей, 
—
будем считать 
а точки касания: 
—
и считая расстояние от неё до O1, O2 убеждаемся, что это точка пересечения наших окружностей, как и середина 
Значит, эти середины — точки A, i(R). Поскольку A не лежит на биссектрисе угла, то прямая, из которой наш угол высекает отрезок с серединой A — единственна, так что соответствующая пара точек X, Yi совпадает с 
Пусть A′ — середина этого отрезка, тогда не очень трудно проверить, что она лежит на обеих 
Осталось убедиться, что 
значит, 
2.4 Пусть 
Перпендикуляр из A на ближайшую сторону угла пересекает меньшую окружность в точке P, а перпендикуляр из A на вторую сторону пересекает BP в точке Q. Наконец, пусть O1 и O 2 — центры исходных окружностей, O — центр окружности, описанной около 
Докажите, что BO — биссектриса угла O1BO2.
Развернуть
—
(половина прямого угла, в который вписаны окружности), а 
так как это угол между окружностями равный углу, между исходными прямыми. С другой стороны, по построению пересечение окружности 
с прямой AU это как раз i(Q). Значит, i(Q) лежит на биссектрисе угла, то есть (сделаем инверсию), окружность BQA образует равные углы с двумя исходными окружностями, а это именно то, что просят установить в задаче (радиус третьей окружности в точку пересечения - биссектриса первых двух радиусов).
и 
прямой, то C и D совпадают с точками касания окружностей и угла.
с исходными окружностями. Поэтому и угол RAO (O — центр меньшей окружности) равен 
и 
так как равны половине дуг AD и AC соответственно (вписанный угол и угол между касательной и хордой равны половине дуги, в них заключенной). Треугольник BCD прямоугольный (медиана — половина гипотенузы). Следовательно, 
поэтому 
Тогда координаты двух других вершин — 
и 
которые следуют из перпендикулярности соседних звеньев. Получим систему уравнений: 
с центром в точке I вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB и AC в точках D и E соответственно. Биссектрисы треугольника ADE пересекаются в точке J. Отрезки BJ и CJ пересекают отрезок DE в точках P и Q соответственно.
Однако DX — это высота равнобедренного треугольника DIJ, проведенная к боковой стороне, что равно расстоянию от J до прямой DI, но DB — расстояние от B до той же прямой. Значит, 
(последнее неравенство следует из того, что 
— внешний). Против большего угла лежит большая сторона.