РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2536 Добавить в вариант

На окружности радиуса 9 см отмечена дуга AB, содержащая 120°. Через концы этой дуги из одной точки проведены две касательные к окружности. В фигуру, ограниченную дугой AB и касательными, вписана меньшая окружность. Найти ее радиус.

Спрятать решение

Решение.

Дуга AB равна 120°, следовательно,

$\angle A O B=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow \angle A O C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow \angle A C O=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Тогда

$R=O C умножить на синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow O C= дробь: числитель: R, знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: R, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби =2 R,$

отсюда $R=9.$ Значит,

$C G=O C минус левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка =2 R минус R минус r=R минус r \Rightarrow G C= дробь: числитель: r, знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =2 r \Rightarrow$
$\Rightarrow R минус r=2 r \Rightarrow R=3 r \Rightarrow 9=3 r \Rightarrow r=3 .$ $C G=O C минус левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка =2 R минус R минус r=R минус r \Rightarrow$
$\Rightarrow G C= дробь: числитель: r, знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =2 r \Rightarrow R минус r=2 r \Rightarrow$
$\Rightarrow R=3 r \Rightarrow 9=3 r \Rightarrow r=3 .$

Ответ: $r=3.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.

Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.

Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.

Олимпиада Гранит науки, 9, 10, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь