Всего: 38 1–20 | 21–38
Добавить в вариант
Решите уравнение 
Домножив дробь в правой части на выражение 
(сопряженное к знаменателю), получим после сокращения на 
уравнение 
Далее, сократив на выражение в правой части и преобразовав точно так же, как ранее, будем иметь уравнение 
Отсюда 
то есть 
Ответ:
Комментарий.
Заметим, что в данном решении можно и не делать проверку корня 
подставляя его в исходное уравнение (хотя это и несложно). Дело в том, что при наших преобразованиях было сделано домножение на сопряженное выражение, которое обращается в нуль только при 
(что, как отмечено, корнем не является). В конце решения было возведение в квадрат равенства с квадратным корнем в левой части и положительным числом 
в правой. В силу положительности правой части такое возведение в квадрат также даёт равносильное уравнение. При других способах решения, встречавшихся в работах участников, возводились в квадрат уравнения, где правая и левая части содержали функции от х (обычно, линейные). При таких способах решения уравнения получаются, вообще говоря неравносильные (они являются следствием исходного) и нет гарантии, что не получится лишних корней. Поэтому в этом случае, если участники в конце получали 
но не делали проверки, то оценка снижалась.
Решить уравнение
Найдем ОДЗ:
Тогда имеем,
Таким образом, 
Ответ:
Решить уравнение
Найдем ОДЗ:
Тогда имеем,
Таким образом,
Ответ:
Решите неравенство 
Найдем ОДЗ: (−1; 9]. Обозначим
При обе функции обращаются в нуль.
Пусть 
Тогда 
а 
(оба слагаемых отрицательны). Поэтому 
Если же 
то, наоборот, 
а 
(первое слагаемое неотрицательно, а второе положительно). В этом случае 
Таким образом, неравенство 
выполняется только при 
Ответ: (−1; 0].
За полное решение 12 баллов. Если указано, что части неравенства знакопостоянны на полуосях, но неверный ответ из-за (возможно, частичного) игнорирования ОДЗ, 4 балла.
Решите неравенство 
Найдем ОДЗ: 
Обозначим
При обе функции обращаются в нуль.
Пусть 
Тогда а (оба слагаемых отрицательны). Поэтому
Если же 
то, наоборот, а (первое слагаемое неотрицательно, а второе положительно).
В этом случае 
Таким образом, неравенство 
выполняется только при 
Ответ: [0; 4].
За полное решение 12 баллов. Если указано, что части неравенства знакопостоянны на полуосях, но неверный ответ из-за (возможно, частичного) игнорирования ОДЗ, 4 балла.
Решить в целых числах уравнение 
Заметим, что 
следовательно, 
Проверяем, что 
не дают решения, при 
получаем 
Заметим, что
откуда 
то есть 
Значит, 
Поэтому 
Проверка показывает, что подходят 
и 
Ответ: (−1, −6), (1, −6), (−3, 8), (3, 8).
Решите уравнение
Заметим, что ОДЗ этого уравнения — отрезок [0; 2]. На этом отрезке оба слагаемых неотрицательны. Их сумма равна нулю только тогда, когда они оба равны нулю. Первое обращается в ноль при 
а второе — при 
Совпадают
Ответ: 
Найдите количество натуральных чисел n, не превышающих 500, для которых уравнение 
имеет решение.
Если [x] = 0, то решение: 
и n = 1. Для 
уравнение имеет решение при таких n, при которых 
Тогда:
— если [x] = 1, то
— если [x] = 2, то
— если [x] = 3, то:
— если [x] = 4, то:
— если 
то решение невозможно, так как 
Итого получаем:
Всего 288 чисел.
Ответ: 288.
Решите неравенство
Сравнение максимума и минимума левой и правой частей соответственно.
Ответ: {2}.
Решите уравнение 
где {a} — дробная часть числа a.
Переписав левую часть уравнения
(здесь [a] — целая часть числа a) и сделав замену переменной 
получаем уравнение 
Пусть
а так как 
то 
Далее
Значит,
Решая эту систему неравенств, получаем
Ответ: 
Кривая на координатной плоскости задана уравнением
Среди всех прямых, касающихся этой кривой в двух точках, найдите ту прямую, которая наименее удалена от точки с координатами 
При 
уравнение равносильно 
а при 
равносильно 
Таким образом, исходная кривая состоит из двух окружностей. Она показана на рисунке, там же изображены возможные прямые, имеющие две точки касания с кривой.
Из подобия треугольников вытекает, что 
Следовательно, 
Поэтому уравнения внешних касательных будут:
Поскольку первая прямая проходит через точку 
то именно она и будет доставлять минимальное расстояние. Для справки уравнения двух внутренних касательных:
Ответ: 
Решите уравнение 
в целых числах.
Сначала заметим, что 0 не может быть корнем уравнения, так как 
Также заметим, что отрицательные целые числа не могут быть корнями уравнения, так как для любого отрицательного целого числа x имеем 
а 
Теперь отметим, что есть один очевидный целочисленный корень 
нашего уравнения. В силу замечания вначале решения, если существует другой целочисленный корень x нашего уравнения (то есть такое целое число, что 
то 
Поэтому этот другой корень можно представить в виде 
где 
некоторое целое число.
Тогда имеем
Следовательно, 
четное число, то есть 
для некоторого целого числа 
При подстановке в уравнение
и сокращения общего множителя (4) получаем новое уравнение
и еще более простое уравнение 
которое уже очень просто решить: 
(так как нас интересуют только положительные значения 
Следовательно, 
а 
Ответ: уравнение 
в целых числах имеет ровно два корня и 
в целых числах имеет ровно два корня и Сколько корней имеет уравнение 
Уравнение преобразуется к виду
причём: 1) левая часть уравнения — степенная функция, выпуклая вверх (так как 
), определенная при 
2) правая часть уравнения — линейная функция с положительным угловым коэффициентом; 3) при 
значение левой части меньше, чем значение правой части; при 
значение левой части, наоборот, больше значения правой, так как
при достаточно больших значениях t правая часть уравнения будет больше левой, так как после деления их на t левая будет стремиться к 0, а правая к 
Поэтому, так как функция выпуклая, то графики этих функций пересекаются ровно в двух точках (одна между 0 и 1, другая правее 1). Каждое из этих двух положительных значений t порождает по два корня x исходного уравнения. Таким образом, всего корней 4.
Ответ: 4.
Типичный недостаток многих решений — ошибки и погрешности в обосновании количества пересечений двух кривых. Рассуждения типа «из графика видно, что…» или «сравнение производных показывает, что…» не являются доказательствами.
Решите уравнение
В ответ запишите сумму всех полученных решений.
Пусть 
тогда 
Значит,
где 
и 
следовательно,
Отсюда находим:
Ответ: 2,5.
Решите уравнение 
Рассмотрим уравнение 
и возведем обе части в квадрат
Решаем квадратное по a уравнение
и 
Отсюда, 
Осталось решить уравнения
Ответ: 
Решить уравнение:
Уравнение 
эквивалентно системе:
В итоге получаем:
Введем переменную 
Тогда уравнение принимает вид 
или 
Решая квадратное уравнение, находим t = −1, 
С учетом неотрицательности t, выбираем 
В итоге получаем уравнение для нахождения x 
Решим это уравнение:
Тогда, с учетом неотрицательности x, находим 
Осталось проверить условие 
Следовательно, оба корня 
и 
удовлетворяют условию 
Ответ: 
Решить уравнение:
Левая часть рассматриваемого уравнения имеет смысл при 
(ОДЗ). Заметим, что на ОДЗ выполнено, что
Умножая правую и левую части исходного уравнения на 
и учитывая, что
получим равносильное уравнение
Далее, умножая правую и левую части исходного уравнения на
получим также равносильное уравнение (ниже поменяли местами левую и правую части)
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получаем,
следовательно, 
что равносильно системе:
Таким образом,
Ответ: 
Решите уравнение
Для существования решения необходимо, чтобы выполнялось неравенство
то есть x2 = 2. Проверка показывает, что 
—
Ответ: 
| Критерии | Баллы |
|---|---|
| Нет проверки, связанной с ОДЗ | 10 |
| Верный ответ угадан | 5 |
Наверх