РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6285 Добавить в вариант

Решите уравнение $x в квадрате плюс 8 левая фигурная скобка x плюс 4 правая фигурная скобка минус 9=0,$ где {a}  — дробная часть числа a.

Спрятать решение

Решение.

Переписав левую часть уравнения

$x в квадрате плюс 8 левая фигурная скобка x плюс 4 правая фигурная скобка минус 9=x в квадрате плюс 8 левая круглая скобка x плюс 4 минус левая квадратная скобка x плюс 4 правая квадратная скобка правая круглая скобка минус 9= левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая квадратная скобка x плюс 4 правая квадратная скобка плюс 7,$

(здесь [a]  — целая часть числа a) и сделав замену переменной $t=x плюс 4,$ получаем уравнение $t в квадрате минус 8 левая квадратная скобка t правая квадратная скобка плюс 7=0 .$

Пусть

$n= левая квадратная скобка t правая квадратная скобка \Rightarrow t в квадрате плюс 7=8 n \Rightarrow n больше или равно 1,$

а так как $n меньше или равно t меньше n плюс 1,$ то $t больше или равно 1.$ Далее

$n в квадрате плюс 7 меньше или равно t в квадрате плюс 7 меньше левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 7=n в квадрате плюс 2 n плюс 8.$

Значит,

$n в квадрате плюс 7 меньше или равно 8 n меньше n в квадрате плюс 2 n плюс 8.$

Решая эту систему неравенств, получаем

$n=1, 5, 6, 7 \Rightarrow t=1, корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , корень из: начало аргумента: 41 конец аргумента , 7.$

Ответ: $левая фигурная скобка \pm 3; корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента минус 4; корень из: начало аргумента: 41 конец аргумента минус 4 правая фигурная скобка .$

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения комбинированные (без триг.), Алгебра: числа. Целая и дробная части, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Помощь