Всего: 134 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–134
Добавить в вариант
Решите уравнение 
Решим уравнение:
оба слагаемые неотрицательны, значит, 
и 
следовательно
Ответ: 
Решите неравенство
Решим неравенсво:
Ответ: 
Решить уравнение 
Находим ОД3 уравнения:
Представим 
в виде
Потенцируя, получим
Обозначим 
при 
следовательно,
Тогда
Значит, 
то есть 
следовательно, 
и 
и
где 
Следовательно, оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ:
Решите уравнение 
Решим уравнение:
оба слагаемые неотрицательны, значит, 
и 
следовательно,
Ответ: 
Решите неравенство
Решим неравенство:
Ответ: 
Решите неравенство
Запишем ОДЗ неравенства 
С помощью разложения на множители и сокращения одинаковых выражений с учетом ОДЗ получаем простое неравенство
Пересекая множество его решений с условием ОД3, получаем 
Ответ: 
Решите неравенство
Пусть 
при 
Запишем ОДЗ задачи: 
и 
Преобразуем исходное неравенство:
Тогда 
то есть 
Отсюда
Ответ: [8; 9].
Решить неравенство:
Найдем ОДЗ:
На ОДЗ
Получили:
Ответ: 
Решите неравенство
Запишем ОД3: 
следовательно, 
Имеем
На ОДЗ исходное неравенство эквивалентно следующему
Ответ: 
Решите неравенство
Запишем ОДЗ: 
следовательно,
Имеем
На ОДЗ исходное неравенство эквивалентно следующему
Ответ: 
Решить уравнение: 
Пусть 
тогда 
откуда
Значит,
следовательно,
Ответ: при 
при 
при Решите уравнение. В ответе укажите сумму его корней.
Запишем ОД3 уравнения: 
После группировки слагаемых приведём уравнение к виду
отсюда находим корни уравнение 
и 
посторонние корни не подходящие под ОДЗ — 
и 
Суммируем корни: 
Ответ: 53.
Решите неравенство:
Преобразуем правую часть неравенства, получим
Заметим, что если сделать замену 
и 
то исходное неравенство примет вид: 
что верно при любых значениях a и b. Докажем, это. Возведем обе части неравенства в квадрат, получим:
что верно для любых значений a и b. Следовательно, исходное неравенство верно на ОДЗ:
Получаем ответ: 
Ответ:
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 20 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 15 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Задача сведена к неравенству  неравенство доказано. |
| 5 | Задача сведена к неравенству  |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство:
Преобразуем правую и левую части неравенства:
Отметим, что ОДЗ неравенства есть все действительные числа. Переписав левую часть неравенства в виде
замечаем, что она не меньше 4, как удвоенная сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при
она равна 4.
В то же время правая часть неравенства
Следовательно, неравенство равносильно системе уравнений:
Ответ: {−0,5}.
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 20 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 15 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Верно выполнены оценки обеих частей неравенства и/или задача сведена к равносильной системе уравнений. |
| 5 | Верно выполнена оценка одной части неравенства. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство:
Докажем, что для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:
Раскрыв скобки, получаем: 
учитывая, что числа положительные
Поскольку на ОДЗ уравнения имеем 
и 
применяя доказанное неравенство получаем, что для любого x левая часть неравенства не меньше 4. В то же время правая часть неравенства
Следовательно, неравенство равносильно системе уравнений:
Из второго уравнения находим, что 
подставляем в первое уравнение системы, получаем, что 
его решение, следовательно, решение исходного неравенства.
Ответ: 
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 12 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Верно выполнены оценки обеих частей неравенства и/или задача сведена к равносильной системе уравнений. |
| 5 | Верно выполнена оценка одной части неравенства. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство:
Докажем, что для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:
Раскрыв скобки, получаем: 
учитывая, что числа положительные
Поскольку на ОД3 уравнения имеем 
и 
применяя доказанное неравенство получаем, что для любого x левая часть неравенства не меньше 4.
В то же время правая часть неравенства
Следовательно, неравенство равносильно системе уравнений:
Из второго уравнения находим, что 
подставляем в первое уравнение системы, получаем, что 
его решение, следовательно, решение исходного неравенства.
Ответ: {−1}.
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 12 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Верно выполнены оценки обеих частей неравенства и/или задача сведена к равносильной системе уравнений. |
| 5 | Верно выполнена оценка одной части неравенства. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство:
Заметим, что ОДЗ неравенства есть все действительные числа. Переписав левую часть неравенства в виде
видим, что она не меньше 4, как удвоенная сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при 
она равна 4. В то же время правая часть неравенства
Следовательно, неравенство равносильно системе уравнений:
Ответ: {−0,5}.
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 12 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Верно выполнены оценки обеих частей неравенства и/или задача сведена к равносильной системе уравнений. |
| 5 | Верно выполнена оценка одной части неравенства. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите уравнение
Перепишем уравнение в виде
Заметим, что
значит, уравнение равносильно совокупности
Ответ: 
Решите неравенство
Домножим числитель и знаменатель на выражение, знак которого строго больше 0:
Это неравенство равносильно системе
Ответ: 
Доказать неравенство 
Данное неравенство равносильно
откуда по формуле разности квадратов
Приводя подобные, получим:
Сокращая (с учетом 
и домножая на положительный знаменатель, приходим к неравенству
которое выполняется для всех 
так как 
и 
Неравенство доказано.
Найдена основная идея решения, но решение не доведено до конца или содержит грубые ошибки, или ответ получен, но не приведено обоснование — 1−2 балла.
Найдена основная идея решения, но решение содержит некоторые пробелы или неточности — 3−4 балла.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 5 баллов.
Наверх