РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3337 Добавить в вариант

Решить уравнение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 9 минус 2 в степени x правая круглая скобка =3 минус x.$

Спрятать решение

Решение.

Находим ОД3 уравнения:

$\quad 9 минус 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 0 \Rightarrow 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 9 \Rightarrow x меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 9.$

Представим $левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка$ в виде

$3 минус x= левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка \Rightarrow логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка == логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка .$

Потенцируя, получим

$9 минус 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка \Rightarrow 9 минус 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 в кубе умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка .$

Обозначим $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =y$ при $y больше 0,$ следовательно,

$2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби .$

Тогда

$9 минус y=8 дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби \Rightarrow 9 y минус y в квадрате =8 \Rightarrow y в квадрате минус 9 y плюс 8=0 \Rightarrow совокупность выражений y_1=1, y_2=8. конец совокупности .$

Значит, $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =1,$ то есть $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка ,$ следовательно, $x_1=0$ и $x_1=0 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 9,$ и

$y_2=8 \Rightarrow 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =8 \Rightarrow 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 в кубе \Rightarrow x_2=3,$

где $x_3=3= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 8 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 9.$ Следовательно, оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: {0; 3}.

Олимпиада Гранит науки, 9, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения комбинированные (без триг.), Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь