Всего: 62 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–62
Добавить в вариант
Решите уравнение
Найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку 
и укажите ее в ответе, при необходимости округлив до двух знаков после запятой.
Исходное уравнение равносильно уравнению
левая часть которого неотрицательна. Поэтому 
и
Поэтому решение уравнения: 
и 
На отрезок 
попадает значения −π, π, 2π, 3π, 5π, сумма которых равна 
В ответ записываем 31,42.
Ответ: 31,42.
Решите неравенство 
По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим 
причём равенство возможно только если
При этом 
причём равенство возможно только если 
Найденные серии пересекаются по множеству
Ответ: 
Решите уравнение 
В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку 
при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.
Исходное уравнение равносильно уравнению
В данный в условии отрезок попадают корни 
и 
Их сумма равна
Ответ: 36,91.
Решите неравенство 
Справедливо
Решением уравнения
являются точки
Отметив эти точки на тригонометрической окружности и применив метод интервалов, получаем ответ
Ответ: 
Решить уравнение
Преобразование:
Возможны два случая.
Первый случай. Когда
Заметим, что 
для любых допустимых α, β, то есть равенство возможно только 
С учетом монотонности арксинуса
Тогда решениями уравнения являются 
и 
при 
Второй случай. Когда
По тем же причинам 
и в силу нечетности арксинуса
Тогда решениями уравнения являются 
и 
при
Объединение серий дает ответ 
и 
при 
Ответ: 
Решить неравенство:
Преобразуем правую часть уравнения
Обозначим 
тогда исходное неравенство перепишется в виде
Решениями этого неравенства являются t: 
В результате приходим к неравенству
Разделим обе части полученного неравенства на 
получим
и перепишем его в виде
Его решения
откуда находим
Ответ: 
Решите уравнение
Введем функцию 
Функция является возрастающей, как сумма трех возрастающих функций. Следовательно, уравнение 
равносильно уравнению 
В нашем случае, имеем: 
или 
отсюда
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите уравнение
Введем функцию 
Функция является возрастающей, как сумма трех возрастающих функций. Следовательно, уравнение равносильно уравнению В нашем случае, имеем:
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите сумму всех принадлежащих отрезку 
целых решений неравенств а
Правая часть неравен ства равна нулю при 
(при остальных x она не определена). Обозначив 
получим:
Поэтому 
На отрезке 
находятся целые числа
Ответ: −12.
Решите уравнение
Преобразуем уравнение
Если 
то подставляя в уравнение, получим 
чего быть не может. Разделим на 
Сделаем замену 
следовательно,
Ответ: 
Найдите сумму всех целых 
для которых выполняется неравенство
Докажем, что 
Имеем:
Ho
так что
Теперь докажем, что 
Действительно,
но
Итак, исходное двойное неравенство выполняется при 
значит,
Находим сумму всех целых n°:
где 
следовательно,
Ответ: 2552.
Решите неравенство:
Так как
Левая его часть определена при 
поэтому 
На этом отрезке первый сомножитель
и отрицателен при 
Второй сомножитель всегда неотрицателен и равен нулю при 
Поэтому 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 15 | Решение верное, но в ответе потеряна одна точка. |
| 10 | Неравенство с нулем в правой части получено, но допущены вычислительные ошибки при правильном способе решения. |
| 5 | Неравенство с нулем в правой части получено, но дальнейшее решение неверно. |
Решите неравенство:
Так как
Левая его часть определена при 
поэтому 
На этом отрезке первый сомножитель
и отрицателен при 
Второй сомножитель всегда неотрицателен и равен нулю при 
Поэтому 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 15 | Решение верное, но в ответе потеряна одна точка. |
| 10 | Неравенство с нулем в правой части получено, но допущены вычислительные ошибки при правильном способе решения. |
| 5 | Неравенство с нулем в правой части получено, но дальнейшее решение неверно. |
Докажите, что 
(аргумент функции 
—
(О. А. Пяйве)
Обозначим 
тогда надо доказать, что 
при 
Ясно, что достаточно рассматривать неотрицательные t. Заметим, что 1 радиан больше 45, но меньше 90 градусов, поэтому 
Функция синус на промежутке 
выпукла вверх, поэтому 
при 
откуда получаем требуемое неравенство.
Каждая задача оценивается в 7 баллов. Наиболее распространённые промежуточные оценки — 2 балла (задача не решена, но есть существенные продвижения) и 5 баллов (задача в целом решена, но есть существенные недостатки). Если продвижения (или недостатки) невелики, то решение может оцениваться в 1 балл (соответственно, в 6 баллов). Оценка в 3 балла возможна для очень больших продвижений, которые, тем не менее, не являются решением задачи. Оценки в 3 и особенно в 4 балла ставятся довольно редко. За верный, но никак не аргументированный ответ в большинстве случаев ставится 1 балл (если это не задача с ответом «да» или «нет»).
Частные критерии: нарисованные графики отдельно не оцениваются. За замену 
даётся 2 балла. Если доказательство работает только в предположении неравенств на t или x, то не больше 5 баллов.
Найти целые x, для которых 
Разобьем все целые числа на 6 классов. Рассмотрим 6 случаев.
Случай 1 
Неравенство примет вид 
Следовательно, для таких значений x неравенство не выполняется.
Случай 2 
Неравенство примет вид
Очевидно, что при 
это неравенство не выполняется. При 
получим 
Очевидно, это неравенство выполняется для любого 
Следовательно, 
будет решением заданного неравенства.
Слyчай 3 
Неравенство примет вид 
Следовательно, для таких значений x неравенство не выполняется.
Случай 4 
Неравенство примет вид
Перепишем его в виде
При 
это неравенство не имеет решений. При 
получим неравенство 
которое справедливо для любого 
Следовательно, 
будет решением заданного неравенства.
Cлyчай 5 
Неравенство примет вид 
Следовательно, для таких значений х неравенство не выполняется.
Случай 6. 
Неравенство примет вид
Перепишем его в виде
Очевидно, при 
это неравенство не имеет решений. При 
это неравенство примет вид 
которое справедливо для любого 
Следовательно, 
является решением исходного неравенства.
Резюмируя все эти случаи, получим окончательный ответ.
Ответ: 
Найти все числа C, для которых неравенство 
выполняется при всех x и любых 
таких, что 
Имеем:
Покажем, что значение 
всегда достижимо для функции 
при любых 
1) Если α и β одного знака, то
2) Если α и β разных знаков, то
Таким образом, при фиксированных 
Величина принимает наибольшее значение в круге 
равное 
Итак, при любых в круге и любых x справедливо неравенство
не удовлетворяет условию задачи, а 
искомое.
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 2 | Решил задачу верно с полным обоснованием. |
| 1,5 | оценил максимальное значение модуля, привел пример реализации максимума. |
| 1 | Нашел граничные значения α и β. |
| 0-0,5 | Верный ответ на вопрос задачи без разумного обоснования. |
Решите систему уравнений:
Поменяв, если нужно, знак у переменных, будем считать, что 
Сразу ясно, что 
поэтому 
Сложив два исходных равенства, получим, что 
откуда 
или наоборот. Ясно, что 
является решением.
Пусть 
Тогда 
и 
Значит, 
что противоречит предположению. Точно так же разбирается случай 
Ответ: 
Решите уравнение 
Левая часть уравнения по модулю не больше двух, а правая часть по модулю не меньше двух: для правой части это следует из элементарных неравенств, например (при x > 0), — из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, и при 
оно верно для модуля в силу нечетности функции 
к тому же выводу можно также прийти, исследуя с помощью производной множество значений этой функции. Значение, равное 2 (по модулю) достигается только при x = 1 или x = −1. Проверив эти числа, получаем, что подходит только x = −1.
Ответ: x = −1.
Решите неравенство 
Так как 
при всех x, то из неравенства 
и свойств функции косинус (монотонного убывания в первой четверти и четности) следует, что для всех x выполняются неравенства:
Отсюда следует результат.
Ответ: x — любое действительное число.
Сколько целочисленных решений у уравнения
При подстановке в уравнение целочисленного решения левая часть уравнения принимает целочисленное значение. Значит, правая часть тоже принимает целочисленное значение, то есть синус может принимать значения −1, 0, 1. Синус не может принимать значения 1, −1 на целочисленном аргументе, поэтому он принимает значение 0, откуда с учётом целочисленности x получаем, что 
и x = 1. Отсюда находим, что 
то есть уравнение имеет два целочисленных решения.
Ответ: 2.
Наверх