Доказана монотонность на полуинтервалах, свел к совокупности двух неравенств. Не учтен случай, когда значения тригонометрических функций попадают в разные полуинтервалы
±
10
Ошибка в решении тригонометрических неравенств при обоснованной монотонности
Обозначим и Тогда справедливо соотношение Решением неравенства является множество
на чертеже оно закрашено серым. Прямая имеет общие точки с этим множеством — это отрезок с выколотой точкой и Таким образом,
откуда, с учетом убывания арккосинуса,
Ответ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания
Балл
Верно найдено решение неравенства относительно arccos x или arcsin x, но ответ относительно переменной x неверный ИЛИ в ответ включена выколотая точка
10
Задача верно сведена к решению системы уравнений и неравенств относительно u = arccos x и v = arcsin x, но эта система не решена ИЛИ в решении с применением тригонометрических функций к внешним аркфункциям задача верно сведена к неравенству на внутренние аркфункции, но не доведена до ответа.
Найдите сумму всех целых чисел удовлетворяющих неравенству:
Решение.
Обозначим тогда неравенство принимает вид
Так как
то неравенство приводится к виду то есть Поэтому
Необходимо ещё учесть условия Получаем, что из полученного решения нужно вырезать точки и где Таким образом, и В отрезок попадают числа −2, 2, 5, 6, 7, 10. Их сумма равна 28.
Сделаем замену где (ОДЗ). Получим неравенство Найдем корни уравнения
С учетом ОДЗ но при всех значениях x, следовательно, остается решить неравенство Решением этого неравенства является выделенная на рисунке область с правой границей
Докажите, что для α и β, принадлежащих интервалу выполнено неравенство
Решение.
Пусть и На данном интервале получаем
(использовали неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического), ч. т. д. Выражение доказывается следующим образом:
Докажите, что для α и β, принадлежащих интервалу выполнено неравенство
Решение.
Пусть и На данном интервале получаем
(использовали неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического), ч. т. д. Выражение доказывается следующим образом:
Докажите, что для α и β, принадлежащих интервалу выполнено неравенство
Решение.
Пусть и На данном интервале получаем
(использовали неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического), ч. т. д. Выражение доказывается следующим образом:
Докажите, что для α и β, принадлежащих интервалу выполнено неравенство
Решение.
Пусть и На данном интервале получаем
(использовали неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического), ч. т. д. Выражение доказывается следующим образом:
Запишем левую часть неравенства как сумму кубов и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой синуса двойного угла:
Откуда
Другой способ доказательства основан на исследовании левой части неравенства как функции от α, при этом достаточно, в силу симметрии и периодичности, рассмотреть лишь промежуток от 0 до Минимум этой функции достигается при и равен
Критерии проверки:
Каждая из четырёх задач данной олимпиады оценивается, исходя из максимума в 25 баллов. Таким образом, максимальный результат участника может быть 100 баллов. Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.
Символы-баллы
Правильность (ошибочность) решения
+25
Полное верное решение
+20
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
±16
Решение в целом верное, но содержит мелкие ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.
+/2 13
Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основанная оценка.
±10
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
−5
Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения.
Решение отсутствует (участник не приступал).
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 13 баллов. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком-стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ будет соответствовать 17 баллам.
К левой части применим формулу косинуса двойного угла
здесь мы учли, что при
Тогда исходное неравенство запишется в виде
Домножив это неравенство на положительное число получим равносильное неравенство
При последнее неравенство верно (оно принимает вид а при поделим его на и получим равносильное неравенство которое очевидно (так как
Функции и — периодические функции периода π. Поэтому является решением системы лишь тогда, когда будет решением системы при всех Следовательно, систему уравнений достаточно решить при условии, что
Пусть Так как то В этом случае система записывается как
На промежутке функции и строго возрастающие. Из равенства
следует, что Поэтому решение системы (1) сводится к решению уравнения на промежутке Уравнение представляется как
Положим Тогда и, значит, Решив уравнение
находим, что
Поэтому решениями заданной системы будут
Сколько действительных решений имеет уравнение
Решение.
Например, при получается 11 решений (необходимо заметить, что рядом с крайними решениями есть еще по одному корню, так как прямая не может быть касательной в точках к графику правой части уравнения).
Заметим сразу, что обе части уравнения нечетны по x, и все решения симметричны относительно нуля. Отметим, что является решением; далее достаточно убедится, что положительных решений ровно
График растянут по горизонтали
Сначала заметим, что является решением, так как
Легко видеть, что при решений нет (левая часть больше 1).
На каждом из отрезков
функция меняется от −1 до 1 (или наоборот), а функция не превосходит 1 по модулю. Из непрерывности обеих функций следует, что на каждом из указанных отрезков есть хотя бы одно решение уравнения. Более того, все эти решения различны: совпадение двух из них означало бы, что число является решением, но правая часть при этом равна ±1, откуда следовало бы Кроме того, на «крайнем» отрезке есть хотя бы два решения. Действительно, если бы там было лишь решение то прямая была бы не ниже графика на этом отрезке; так как при она также не ниже, то эта прямая была бы касательной к графику в точке Но является точкой максимума функции касательная к ее графику там должна быть горизонтальной — получаем противоречие. Значит, всего положительных решений хотя бы 1009.
С другой стороны, рассмотрим отрезки
На каждом из них функция строго выпукла вверх, и ее график больше двух пересечений с прямой иметь не может. На дополняющих отрезках наши функции и вовсе разных знаков; а при получаем, что левая часть больше 1. Получается, что больше 1010 решений на этих отрезках быть не может, причем в первом отрезке мы посчитали решение Значит, всего положительных решений не более 1009.
Ответ: 2019.
Замечание.
Верный ответ легко угадывается, если аккуратно нарисовать графики правой и левой частей уравнения (заменив на меньшее нечетное число).
и 
Тогда справедливо соотношение 
Решением неравенства 
является множество 
имеет общие точки с этим множеством — это отрезок с выколотой 
Таким образом,
и 
Тогда получим 
то получим равносильные неравенства 
Тогда
удовлетворяющих неравенству:
тогда неравенство принимает вид 
то есть 
Поэтому 
Получаем, что из полученного решения нужно вырезать 
где 
Таким образом, 
и 
В отрезок 
попадают числа −2, 2, 5, 6, 7, 10. Их сумма равна 28.
удовлетворяющих неравенству:
Тогда 
симметричны, и их сумма равна нулю. В ответ войдет сумма 
где 
(ОДЗ). Получим неравенство 
Найдем корни уравнения 
но 
при всех значениях x, следовательно, остается решить неравенство 
Решением этого неравенства является выделенная на рисунке область с правой границей 
и 
при 
выполнено неравенство
и 
На данном интервале 
получаем
доказывается следующим образом:
и 
На данном интервале 
На данном интервале 
и 
то достаточно доказать, что 
для всех x).
для всех α.
Минимум этой функции достигается при 
и 
будет соответствовать 17 баллам.
для всех 
при 
получим равносильное неравенство 
последнее неравенство верно (оно принимает вид 
а при 
поделим его на 
и получим равносильное неравенство 
которое очевидно (так как 
выполнено при всех значениях x. Докажите, что 
тогда ... и 
откуда 
и 
—
является решением системы лишь тогда, когда 
будет решением системы при всех 
Следовательно, систему уравнений достаточно решить при условии, что 
то 
В этом случае система записывается как 
функции 
и 
Поэтому решение системы (1) сводится к решению уравнения 
на промежутке 
Уравнение представляется как 
Тогда 
и, значит, 
Решив уравнение 
получается 11 решений (необходимо заметить, что рядом с крайними решениями 
есть еще по одному корню, так как прямая 
не может быть касательной в точках 
является решением; далее достаточно убедится, что положительных решений ровно 
является решением, так как 
решений нет (левая часть больше 1). 
меняется от −1 до 1 (или наоборот), а функция 
не превосходит 1 по модулю. Из непрерывности обеих функций следует, что на каждом из указанных отрезков есть хотя бы одно решение уравнения. Более того, все эти решения различны: совпадение двух из них означало бы, что число 
является решением, но правая часть при этом равна ±1, откуда следовало бы 
Кроме того, на «крайнем» отрезке 
есть хотя бы два решения. Действительно, если бы там было лишь решение 
то прямая 
на этом отрезке; так как при 
Но 
касательная к ее графику там должна быть горизонтальной — получаем противоречие. Значит, всего положительных решений хотя бы 1009. 
наши функции и вовсе разных знаков; а при 
получаем, что левая часть больше 1. Получается, что больше 1010 решений на этих отрезках быть не может, причем в первом отрезке мы посчитали решение 
Значит, всего положительных решений не более 1009.
на меньшее нечетное число).