Ввиду сим­мет­рии можно счи­тать, что Тогда при за­ме­не пары a, c на пару по­лу­чим

  — уве­ли­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния, сле­до­ва­тель­но, мак­си­мум нужно ис­кать среди дро­бей При за­ме­не пары b, d на пару по­лу­чим

Ввиду того, что имеем по­это­му и раз­ность в преды­ду­щем пред­ло­же­нии по­ло­жи­тель­на. Сле­до­ва­тель­но, мак­си­мум вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся при и равен

Ответ:

Пусть a, b, c, d, e, f  — ука­зан­ные числа, за­пи­сан­ные в по­ряд­ке их сле­до­ва­ния в кру­гах при об­хо­де по ча­со­вой стрел­ке и числа a, c, e рас­по­ла­га­ют­ся в вер­ши­нах тре­уголь­ни­ка. Если S  — рас­смат­ри­ва­е­мая сумма, то имеем:

Скла­ды­вая все урав­не­ния си­сте­мы, по­лу­ча­ем: то есть

Сле­до­ва­тель­но, число S не может быть боль­ше числа

Ри­су­нок по­ка­зы­ва­ет, что число S может быть равно 39.

Ответ: 39.

Пусть про­би­рок вида А, В и С взяли со­от­вет­ствен­но a, b и с штук. По усло­вию

Левая часть по­след­не­го ра­вен­ства де­лит­ся на 1000, сле­до­ва­тель­но, на 1000 долж­на де­лить­ся и пра­вая часть. Зна­чит, наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы равно 1000. По­ка­жем, что эта оцен­ка до­сти­жи­ма. То есть, до­ка­жем, что су­ще­ству­ют не­от­ри­ца­тель­ные целые числа a, b и с такие, что

По­след­ние три не­ра­вен­ства слу­жат не­об­хо­ди­мым и до­ста­точ­ным усло­ви­ям того, что удаст­ся из­бе­жать ис­поль­зо­ва­ния про­би­рок од­но­го вида при двух по­сле­до­ва­тель­ных пе­ре­ли­ва­ни­ях. Из пер­вых двух урав­не­ний си­сте­мы на­хо­дим

Под­ста­вив эти вы­ра­же­ния в по­след­ние три не­ра­вен­ства си­сте­мы (1), по­лу­чим

От­сю­да наи­боль­шее зна­че­ние c равно 73. Ему со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния a и b могут быть най­де­ны из (2). Они, оче­вид­но, удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ствам си­сте­мы (1). Таким об­ра­зом, раз­ре­ши­мость в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах си­сте­мы (1) до­ка­за­на.

Ответ: наи­мень­шее ко­ли­че­ство пе­ре­ли­ва­ний равно 1000. При этом могут быть ис­поль­зо­ва­ны мак­си­мум 73 про­бир­ки вида С.

Дан­ная за­да­ча эк­ви­ва­лент­на сле­ду­ю­щей.

Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число m, для ко­то­ро­го най­дут­ся на­ту­раль­ные числа n и k, такие что n > k > 1 и

Оче­вид­но, что m > 9. Если где то ра­вен­ство озна­ча­ет, что b = 1. Но в этом слу­чае, не­за­ви­си­мо от a вто­рая цифра спра­ва в числе равна a + 1, и это не может быть 1. Таким об­ра­зом, Ясно, что n = 100 не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию по­то­му, что

С дру­гой сто­ро­ны, n = 101 под­хо­дит, т. к. 101∙11=1111.

Ответ: 101.

а)  Один из пря­мо­уголь­ни­ков раз­би­е­ния дол­жен иметь пло­щадь не мень­ше, чем обо­зна­чим его сто­ро­ны за x и y. По не­ра­вен­ству о сред­нем ариф­ме­ти­че­ском и сред­ним гео­мет­ри­че­ском имеем зна­чит, пе­ри­метр этого пря­мо­уголь­ни­ка, рав­ный не мень­ше Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся для раз­би­е­ния квад­ра­та на 25 оди­на­ко­вых квад­ра­ти­ков со сто­ро­ной 0,2.

С дру­гой сто­ро­ны, раз­би­е­ние квад­ра­та на 25 рав­ных пря­мо­уголь­ни­ков со сто­ро­на­ми 1 и даёт при­мер по­это­му p мак­си­маль­ное точно боль­ше 2. В любом раз­би­е­нии еди­нич­но­го квад­ра­та на 25 пря­мо­уголь­ни­ков найдётся пря­мо­уголь­ник пло­ща­ди не боль­ше обо­зна­чим его сто­ро­ны за и при этом и Сле­до­ва­тель­но, дол­жен най­тись такой x из ин­тер­ва­ла для ко­то­ро­го Дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся квад­ра­тич­ной с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том, по­это­му её ми­ни­мум на от­рез­ке при­ни­ма­ет­ся в одном из кон­цов этого от­рез­ка. Со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния на кон­цах равны Сле­до­ва­тель­но, и

Ответ: а) Ми­ни­маль­ное зна­че­ние p равно мак­си­маль­ное зна­че­ние p равно б) Да, можно, спо­соб ука­зан в ре­ше­нии.

Под­став­ляя в мно­го­член по­сле­до­ва­тель­но зна­че­ния из ин­тер­ва­ла [−1, 1], по­лу­чим три не­ра­вен­ства: и Скла­ды­вая вто­рое с тре­тьим, по­лу­чим также вы­чи­тая вто­рое из тре­тье­го (они двой­ные и сим­мет­рич­ные!), имеем Вы­чи­тая из не­ра­вен­ство по­лу­чим В силу сим­мет­рии усло­вия за­да­чи от­но­си­тель­но умно­же­ния на −1, можем счи­тать ко­эф­фи­ци­ент a по­ло­жи­тель­ным. Если то по до­ка­зан­но­му. Если то по до­ка­зан­но­му. Если то Если то Таким об­ра­зом, сумма в усло­ви­ях за­да­чи не пре­вос­хо­дит 3.

Зна­че­ние 3 до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, на мно­го­чле­не его ми­ни­маль­ное зна­че­ние до­сти­га­ет­ся внут­ри ин­тер­ва­ла в вер­ши­не па­ра­бо­лы при мак­си­маль­ные зна­че­ния до­сти­га­ют­ся на кон­цах ин­тер­ва­ла при

Ответ: 3.

Пусть A че­ло­век изу­ча­ют ан­глий­ский язык, N  — не­мец­кий, а AN  — оба языка. Тогда N = 2017 − A + AN. Из­вест­но, что и Сле­до­ва­тель­но,

За­ме­тим, что N = 766, если A = 1412, AN = 161, .

Ответ: 766.

Чис­ло­вую ось можно раз­бить на 2024 под­мно­же­ства:

На каж­дом из этих мно­жеств функ­ция яв­ля­ет­ся ли­ней­ной и имеет вид Пусть k_i  — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент на i-ом слева мно­же­стве (k₁  =  −2023 < 0 при

За­ме­тим, что Сле­до­ва­тель­но, функ­ция f(x) сна­ча­ла убы­ва­ет, а потом воз­рас­та­ет. Так как k₁₀₁₁ = −1 при а k₁₀₁₂ = 1 при то наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке x = −1011. Оно равно

Ответ: 1023132.

Вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка Ани делят окруж­ность на три дуги (рис.). Пусть и   — ко­ли­че­ство точек на этих дугах (рис.), не счи­тая вер­ши­ны са­мо­го тре­уголь­ни­ка. Чтобы «вы­стрел» с кон­ца­ми в точ­ках k и m не задел ко­рабль, надо чтобы обе эти точки ле­жа­ли на одной из дуг. Вы­брать две раз­лич­ные точки на дуге, со­дер­жа­щей x точек, можно, оче­вид­но, спо­со­ба­ми. То же и для осталь­ных дуг. Зна­чит, число N «без­опас­ных» вы­стре­лов равно сумме Тогда сле­ду­ю­щий вы­стрел уже обя­за­тель­но «ранит» ко­рабль, по­это­му

Итак, тре­бу­ет­ся найти такие целые не­от­ри­ца­тель­ные числа удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию при ко­то­рых зна­че­ние N ми­ни­маль­но. За­пи­шем вы­ра­же­ние для N в раз­вер­ну­том виде:

Рас­крыв скоб­ки и при­ве­дя по­доб­ные, по­лу­чим

При каж­дом фик­си­ро­ван­ном y от 0 до 26 будем ис­кать такое зна­че­ние x, удо­вле­тво­ря­ю­щее не­ра­вен­ству

при ко­то­ром зна­че­ние N ми­ни­маль­но. Если y фик­си­ро­ван, то пра­вая часть при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние при

Это ми­ни­маль­ное зна­че­ние равно Оно, в свою оче­редь, ми­ни­маль­но при ≈ 8,6. Тогда Среди точек с це­лы­ми ко­ор­ди­на­та­ми (8,8), (8,9), (9,8), (9,9) – бли­жай­ших це­ло­чис­лен­ных со­се­дей точки ми­ни­му­ма – вы­би­ра­ем ту, ко­то­рой со­от­вет­ству­ет наи­мень­шее зна­че­ние N. Это точки (8,9), (9,8), (9,9). Для них N = 100.

Ответ: Ко­рабль сле­ду­ет рас­по­ло­жить так, чтобы на трех дугах, на ко­то­рые вер­ши­ны ко­раб­ля раз­би­ва­ют окруж­ность, рас­по­ла­га­лось по 8, 9 и 9 точек (не счи­тая вер­ши­ны са­мо­го ко­раб­ля).

Таб­ли­цу раз­ме­ра­ми n x n будем обо­зна­чать Оче­вид­но, что для таб­ли­цы ис­ко­мое мак­си­маль­ное k равно 3. Экс­пе­ри­мен­ти­руя с таб­ли­цей можно за­ме­тить, что (ниже мы до­ка­жем это стро­го). Сде­лан­ные на­блю­де­ния поз­во­ля­ют пред­по­ло­жить, что для про­из­воль­но­го мак­си­маль­ное зна­че­ние k равно До­ка­жем это.

Пре­жде всего, по­ка­жем, что еди­ни­цы таб­ли­ца со­дер­жать не может. Для этого при­ве­дем контр­при­мер, но сна­ча­ла вспом­ним опре­де­ле­ние транс­вер­са­ли. Транс­вер­са­лью таб­ли­цы T_n на­зы­ва­ют набор из n ячеек, со­дер­жа­щих 1, любые две из ко­то­рых рас­по­ло­же­ны в раз­ных стро­ках и раз­ных столб­цах. Ясно, что если какие-то ячей­ки об­ра­зо­вы­ва­ли транс­вер­саль, то и после пе­ре­ста­нов­ки строк или столб­цов они снова об­ра­зу­ют транс­вер­саль. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на таб­ли­ца n x n с еди­ни­ца­ми, рас­по­ло­жен­ны­ми на глав­ной диа­го­на­ли, а также в таб­ли­це 2 × 2 в левом верх­нем углу. Такая таб­ли­ца со­дер­жит две транс­вер­са­ли. В то же время таб­ли­ца, у ко­то­рой все 1 лежат на или выше по­боч­ной диа­го­на­ли, со­дер­жит не более одной транс­вер­са­ли. Зна­чит, к тре­бу­е­мо­му в за­да­че виду таб­ли­ца на ри­сун­ке при­ве­де­на быть не может. По­это­му

По­ка­жем, что еди­ни­цу все­гда можно пе­ре­не­сти на по­боч­ную диа­го­наль или выше. Итак,

дана таб­ли­ца T_n, со­дер­жа­щая еди­ниц. В такой таб­ли­це обя­за­тель­но есть стро­ка или ровно с одной 1, или не со­дер­жа­щей еди­ниц вовсе. Рас­смот­рим эти слу­чаи.

 ·  В таб­ли­це T_n есть стро­ка, со­дер­жа­щая ровно одну 1. По­ста­вим эту стро­ку на по­след­нее место. Затем, пе­ре­став­ляя столб­цы, пе­ре­ме­стим эту един­ствен­ную 1 в край­ний левый стол­бец.

 ·  В таб­ли­це T_n есть стро­ка, со­дер­жа­щая толь­ко нули. По­ста­вим эту стро­ку на по­след­нее место. Пе­ре­став­ляя столб­цы, сде­ла­ем так, чтоб в край­нем левом столб­це была хоть одна еди­ни­ца.

В каж­дом слу­чае по­лу­че­на под­таб­ли­ца со­дер­жа­щая, по край­ней мере, на одну 1 мень­ше, чем таб­ли­ца С таб­ли­цей можно вы­пол­нить ана­ло­гич­ные пре­об­ра­зо­ва­ния. В ре­зуль­та­те за шага при­дем к таб­ли­це для ко­то­рой уже уста­нов­ле­но, что Фор­му­ла до­ка­за­на.

Ответ: n + 1.

Чис­ло­вую ось можно раз­бить на 12 под­мно­жеств: На каж­дом из этих мно­жеств функ­ция яв­ля­ет­ся ли­ней­ной и имеет вид Пусть k_i  — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент на i-ом слева мно­же­стве (k₁ = −1 − 2 − ... − 11 = −66 при k₂ = 1 − 2 − ... − 11 = −64 при ...).

За­ме­тим, что Сле­до­ва­тель­но, функ­ция () сна­ча­ла убы­ва­ет, а потом воз­рас­та­ет. Так как k₈ = 1 + 2 + ... + 7 − 8 − ... − 11 = −10 при а k₉ = 1 + 2 + ... + 8 − 9 − 10 − 11 = 6 при то наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке x = 7. Оно равно

Ответ: 146.

Пусть число участ­ни­ков тур­ни­ка равно n, а число по­пав­ших в 1-ю груп­пу равно k. Тогда число сыг­ран­ных пар­тий равно:

где m  — мало, от­ку­да:

от­ку­да

Если n = 18, то:

тогда

Итак, наи­боль­шее воз­мож­ное число участ­ни­ков равно 18, груп­пы участ­ни­ков на­счи­ты­ва­ют 4 и 14 че­ло­век, ко­ли­че­ство «меж­груп­по­вых» пар­тий равно 2.

Ответ: 18.

Если не­зна­ко­мых людей нет, то ко­ли­че­ство людей, ко­то­рые зна­ко­мы со всеми, равно 168. Пусть А и В не зна­ко­мы друг с дру­гом, тогда все осталь­ные люди зна­ко­мы между собой (если С не зна­ком с D, то в груп­пе А, В, С, D никто не зна­ком с осталь­ны­ми тремя). Если А и В зна­ко­мы со всеми осталь­ны­ми, то 166 че­ло­век зна­ко­мы со всеми. Если же А не зна­ком также и с С, где С ≠ D, то и А, и В, и С зна­ко­мы со всеми осталь­ны­ми 165 лю­дь­ми (так как в любой груп­пе А, В, С, D толь­ко D может быть зна­ко­мым с осталь­ны­ми тремя), ко­то­рые к тому же зна­ко­мы между собой. Таким об­ра­зом, ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство людей, зна­ко­мых со всеми, равно 165.

Ответ: 165.

За­пи­шем функ­цию f(x) в сле­ду­ю­щем виде:

Сле­до­ва­тель­но, для целых x зна­че­ние f(x) будет целым в том и толь­ко том слу­чае, когда x − 1 яв­ля­ет­ся одним из де­ли­те­лей числа 9, то есть при­ни­ма­ет зна­че­ния Вы­чис­ляя зна­че­ния функ­ции f(x), на­хо­дим, что наи­мень­шее целое зна­че­ние −3 функ­ция f(x) при­ни­ма­ет при целых x  =  −8 и x  =  2.

Ответ: min f(x)  =  f(2)  =  f(−8)  =  −3.

Так как сред­няя ско­рость Ивана за по­след­ние пол­ча­са была не более 1 м/c, то за это время он про­шел не более 60 · 30 = 1800 мет­ров. При этом его шаг был не менее 75 см, сле­до­ва­тель­но, он мог прой­ти не более шагов. Итак, в 18-30 фит­нес-брас­лет Ивана дол­жен по­ка­зы­вать не более чем 19791 + 2400 = 22191 шагов. Бли­жай­шее к 22191 число-па­лин­дром, ко­то­рое не пре­вы­ша­ет его  — это число 22122.

Ответ: 22122.

Обо­зна­чим зар­пла­ту за x. Тогда то, что остаётся после вы­че­та на­ло­га, это Это квад­рат­ный трёхчлен с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том, он до­сти­га­ет мак­си­му­ма в вер­ши­не при

Ответ: 50 000 туг­ри­ков.

I спо­соб. До­ба­вим и вы­чтем По­лу­ча­ем вы­ра­же­ние

Оче­вид­но, это вы­ра­же­ние имеет ми­ни­мум, рав­ный −4.

Ответ: −4.

II спо­соб. Чтобы найти наи­мень­шее зна­че­ние, можно взять про­из­вод­ные от этого вы­ра­же­ния по x и по y и найти точку, где обе эти про­из­вод­ные равны нулю. Про­из­вод­ная по x равна нулю, когда

Про­из­вод­ная по y равна Она равна нулю в двух слу­ча­ях: когда и когда После этого не­об­хо­ди­мо разо­брать­ся, в каких из этих точек дей­стви­тель­но ло­каль­ный ми­ни­мум и по­че­му гло­баль­ный ми­ни­мум су­ще­ству­ет.

Кор­рект­ное до­ка­за­тель­ство этого в тер мин ах про­из­вод­ных, к со­жа­ле­нию, вы­хо­дит за рамки школь­ной про­грам­мы, по­это­му для уча­щих­ся школ это ре­ше­ние может слу­жить ско­рее вœго толь­ко под­сказ­кой к от­ве­ту и к ре­ше­нию, из­ло­жен­но­му выше.

Рас­смот­рим че­ло­ве­ка с самой наи­мень­шей долей. Пусть у его отца было сы­но­вей, у деда  — и так далее до ос­но­ва­те­ля рода, у ко­то­ро­го было Тогда доля этого че­ло­ве­ка со­став­ля­ет

причём нам из­вест­но, что не пре­вос­хо­дит 179 (по­сколь­ку ос­но­ва­тель рода в эту сумму точно не вхо­дит). Таким об­ра­зом, мы ищем набор чисел с сум­мой, не пре­вос­хо­дя­щей 179 и мак­си­маль­ным про­из­ве­де­ни­ем. До­ка­жем, что любой набор, кроме на­бо­ра, со­сто­я­ще­го из 59 троек и одной двой­ки, не об­ла­да­ет мак­си­маль­ным про­из­ве­де­ни­ем, так как его можно уве­ли­чить,

Во-пер­вых, если сумма чисел в на­бо­ре мень­ше 179, до­ба­вим туда ещё одно число, чтобы сде­лать её рав­ной 179. Про­из­ве­де­ние от этого не умень­шит­ся.

Во-вто­рых, пусть в нашем на­бо­ре есть число За­ме­ним a на пару чисел b и c боль­ших еди­ни­цы, таких, что До­ка­жем, что Дей­стви­тель­но,

что не­от­ри­ца­тель­но при b и c боль­ших еди­ни­цы.

В-тре­тьих, если среди на­бо­ра есть число 1, то можно за­ме­нить любое число a и 1 на от­че­го про­из­ве­де­ние этих чисел уве­ли­чит­ся на 1.

Таким об­ра­зом, любой набор можно пре­об­ра­зо­вать в набор из двоек и троек, не умень­шая про­из­ве­де­ния его чисел. Далее, пусть ко­ли­че­ство двоек хотя бы три, тогда их про­из­ве­де­ние равно 8. Если же мы за­ме­ним три двой­ки на две трой­ки, сумма чисел не из­ме­нит­ся, а про­из­ве­де­ние ста­нет равно 9, то есть опять-таки уве­ли­чит­ся. Таким об­ра­зом, можно до­бить­ся того, чтобы ко­ли­че­ство двоек стало не боль­ше двух. По­сколь­ку в ито­го­вом на­бо­ре будет ровно одна двой­ка.

Итак, любой набор на­ту­раль­ных чисел с сум­мой, не пре­вос­хо­дя­щей 179, можно пре­об­ра­зо­вать в набор из 59 троек и одной двой­ки, и при этом про­из­ве­де­ние чисел в на­бо­ре не умень­шит­ся. Зна­чит, по­лу­чен­ный в итоге набор об­ла­да­ет наи­боль­шим про­из­ве­де­ни­ем, рав­ным что дает нам наи­мень­шую долю на­след­ства об­рат­ную к этому числу.

Ответ:

I спо­соб. До­ба­вим и вы­чтем По­лу­ча­ем вы­ра­же­ние

Оче­вид­но, это вы­ра­же­ние имеет ми­ни­мум, рав­ный −9.

Ответ: −9.

II спо­соб. Чтобы найти наи­мень­шее зна­че­ние, можно взять про­из­вод­ные от этого вы­ра­же­ния по x и по y и найти точку, где обе эти про­из­вод­ные равны нулю. Про­из­вод­ная по x равна нулю, когда

Про­из­вод­ная по y равна

Она равна нулю в двух слу­ча­ях: когда и когда После этого не­об­хо­ди­мо разо­брать­ся, в каких из этих точек дей­стви­тель­но ло­каль­ный ми­ни­мум и по­че­му гло­баль­ный ми­ни­мум су­ще­ству­ет.

Кор­рект­ное до­ка­за­тель­ство этого в тер минах про­из­вод­ных, к со­жа­ле­нию, вы­хо­дит за рамки школь­ной про­грам­мы, по­это­му для уча­щих­ся школ это ре­ше­ние может слу­жить ско­рее всего толь­ко под­сказ­кой к от­ве­ту и к ре­ше­нию, из­ло­жен­но­му выше.

Рас­смот­рим че­ло­ве­ка с самой наи­мень­шей долей. Пусть у его отца было сы­но­вей, у деда  — и так далее до ос­но­ва­те­ля рода, у ко­то­ро­го было Тогда доля этого че­ло­ве­ка со­став­ля­ет

причём нам из­вест­но, что не пре­вос­хо­дит 119 (по­сколь­ку ос­но­ва­тель рода в эту сумму точно не вхо­дит). Таким об­ра­зом, мы ищем набор чисел с сум­мой, не пре­вос­хо­дя­щей 119 и мак­си­маль­ным про­из­ве­де­ни­ем. До­ка­жем, что любой набор, кроме на­бо­ра, со­сто­я­ще­го из 39 троек и одной двой­ки, не об­ла­да­ет мак­си­маль­ным про­из­ве­де­ни­ем, так как его можно уве­ли­чить, Во-пер­вых, если сумма чисел в на­бо­ре мень­ше 119, до­ба­вим туда ещё одно число, чтобы сде­лать её рав­ной 119. Про­из­ве­де­ние от этого не умень­шит­ся. Во-вто­рых, пусть в нашем на­бо­ре есть число За­ме­ним a на пару чисел b и c боль­ших еди­ни­цы, таких, что До­ка­жем, что Дей­стви­тель­но,

что не­от­ри­ца­тель­но при b и c боль­ших еди­ни­цы. В-тре­тьих, если среди на­бо­ра есть число 1, то можно за­ме­нить любое число a и 1 на от­че­го про­из­ве­де­ние этих чисел уве­ли­чит­ся на 1.

Таким об­ра­зом, любой набор можно пре­об­ра­зо­вать в набор из двоек и троек, не умень­шая про­из­ве­де­ния его чисел. Далее, пусть ко­ли­че­ство двоек хотя бы три, тогда их про­из­ве­де­ние равно 8. Если же мы за­ме­ним три двой­ки на две трой­ки, сумма чисел не из­ме­нит­ся, а про­из­ве­де­ние ста­нет равно 9, то есть опять-таки уве­ли­чит­ся. Таким об­ра­зом, можно до­бить­ся того, чтобы ко­ли­че­ство двоек стало не боль­ше двух.

По­сколь­ку в ито­го­вом на­бо­ре будет ровно одна двой­ка.

Итак, любой набор на­ту­раль­ных чисел с сум­мой, не пре­вос­хо­дя­щей 119, можно пре­об­ра­зо­вать в набор из 39 троек и одной двой­ки, и при этом про­ве­де­ние чисел в на­бо­ре не умень­шить­ся. Зна­чит, по­лу­чен­ный в итоге набор об­ла­да­ет наи­боль­шим про­из­ве­де­ни­ем, рав­ным что дает наи­мень­шую долю на­след­ства об­рат­ную к этому числу.

Ответ: