РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 449 Добавить в вариант

По регламенту шахматного турнира каждый участник должен сыграть с каждым один раз. После того как было сыграно ровно 99 партий, оказалось, что множество участников турнира можно разбить на две неравные по численности группы так, что все соперники, относящиеся к одной и той же группе, уже сыграли партии между собой. При этом были сыграны, но не более четырех, партии между соперниками, которые относятся к разным группам. Каково наибольшее возможное число участников этого шахматного турнира?

Спрятать решение

Решение.

Пусть число участников турника равно n, а число попавших в 1-ю группу равно k. Тогда число сыгранных партий равно:

$дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби плюс m=99,$

где m  — мало, откуда:

$k в квадрате минус k плюс левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка плюс 2m минус 198=0 равносильно k в квадрате минус k плюс k в квадрате минус 2kn плюс n в квадрате минус n плюс k плюс 2m минус 198=0 равносильно$ $k в квадрате минус k плюс левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка плюс 2m минус 198=0 равносильно$
$равносильно k в квадрате минус k плюс k в квадрате минус 2kn плюс n в квадрате минус n плюс k плюс 2m минус 198=0 равносильно$

$равносильно 2k в квадрате минус 2kn плюс левая круглая скобка n в квадрате минус n плюс 2m минус 198 правая круглая скобка =0;$

$дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =n в квадрате минус 2 левая круглая скобка n в квадрате минус n плюс 2m минус 198 правая круглая скобка = минус n в квадрате плюс 2n минус 4m плюс 396;$

$дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби больше или равно 0 равносильно n в квадрате минус 2n плюс левая круглая скобка 4m минус 396 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 397 минус 4m правая круглая скобка меньше или равно 0,$

откуда $n_max=1 плюс корень из: начало аргумента: 397 минус 4m конец аргумента меньше или равно 20.$

Если n = 20, то:

$2k в квадрате минус 40k плюс левая круглая скобка 400 минус 20 плюс 2m минус 198 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно k в квадрате минус 20k плюс 91 плюс m=0,$

тогда

$k=10,n минус k=10,m=9$   — противоречие;

$k=11,n минус k=9,m=8$   — противоречие;

$k=12,n минус k=8,m=5$   — противоречие;

$k=13,n минус k=7,m=0$   — противоречие;

при k > 13 и m < 0.

Если n = 19, то:

$2k в квадрате минус 38k плюс левая круглая скобка 361 минус 19 плюс 2m минус 198 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно k в квадрате минус 19k плюс 72 плюс m=0,$

тогда

$k=10,n минус k=9,m=18$   — противоречие;

$k=11,n минус k=8,m=16$   — противоречие;

$k=12,n минус k=7,m=12$   — противоречие;

$k=13,n минус k=6,m=6$   — противоречие;

при k > 13 и m < 0.

Если n = 18, то:

$2k в квадрате минус 36k плюс левая круглая скобка 324 минус 18 плюс 2m минус 198 правая круглая скобка =0 равносильно k в квадрате минус 18k плюс 54 плюс m=0$

тогда

$k=9,n минус k=9,m=27$   — противоречие;

$k=10,n минус k=8,m=26$   — противоречие;

$k=11,n минус k=7,m=23$   — противоречие;

$k=12,n минус k=6,m=18$   — противоречие;

$k=13,n минус k=5,m=11$   — противоречие;

$k=14,n минус k=4,m=2$   — решение.

Итак, наибольшее возможное число участников равно 18, группы участников насчитывают 4 и 14 человек, количество «межгрупповых» партий равно 2.

Ответ: 18.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	14
Ответ верный. Приведены обоснованные верные оценки для наибольшего числа участников турнира. Отсутствует строгое обоснование приведенных оценок или ответа.	±	11
Ответ верный. Приведены обоснованные верные оценки для наибольшего числа участников турнира. Отсутствует строгое обоснование приведенных оценок и ответа. ИЛИ Ответ верный. Приведены верные, но не обоснованные оценки для наибольшего числа участников турнира. Приведено строгое обоснование ответа по указанным оценкам.	+/2	7
Ответ неверный или отсутствует. В решении приведены обоснованные оценки для оценки для наибольшего числа участников турнира или составлены верные соотношения, из которых они получаются.	∓	3
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл		14

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Минимаксные задачи без производной, Разное. Турниры

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь