Во всем мире по­пу­ляр­на игра в хок­кей. Мно­гое в игре за­ви­сит от вра­та­ря. Для от­ра­бот­ки на­вы­ков вра­та­рей и обес­пе­че­ния тре­ни­ро­воч­но­го про­цес­са, ко­то­рый бы не за­ви­сел от дру­гих иг­ро­ков, со­зда­ли шай­бо­мет. Ав­то­мат можно на­стро­ить так, чтобы он вы­бра­сы­вал шайбы с за­дан­ной вре­мен­ной ча­сто­той, ско­ро­стью и под опре­де­лен­ным углом. Линия ворот на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 25 м от цен­траль­ной точки O хок­кей­ной пло­щад­ки. Пусть ав­то­мат уста­нов­лен на рас­сто­я­нии d  =  16 м от точки O по на­прав­ле­нию к во­ро­там, ско­рость вы­бро­са шайбы равна V₀  =  20 м/с. Брос­ки про­из­во­дят­ся в плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ной по­верх­но­сти льда и линии ворот. При этом для обес­пе­че­ния без­опас­но­сти тра­ек­то­рия вы­ле­та­ю­щих шайб долж­на, с одной сто­ро­ны, на­хо­дить­ся не выше пря­мой линии, со­еди­ня­ю­щей центр ле­до­вой пло­щад­ки O с точ­кой, на­хо­дя­щей­ся в плос­ко­сти по­ле­та шайб, в плос­ко­сти ворот, и на рас­сто­я­нии од­но­го метра от по­верх­но­сти льда, а с дру­гой сто­ро­ны  — долж­на пе­ре­се­кать плос­кость ворот по нис­хо­дя­щей ветви тра­ек­то­рии.

Опре­де­ли­те мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние тан­ген­са угла, под ко­то­рым могут вы­ле­тать шайбы из шай­бо­ме­та, если тра­ек­то­рия дви­же­ния шайбы, рас­смат­ри­ва­е­мой как ма­те­ри­аль­ная точка, в плос­ко­сти ее по­ле­та в си­сте­ме ко­ор­ди­нат с цен­тром в O и осью абс­цисс, на­прав­лен­ной вдоль по­верх­но­сти льда, опи­сы­ва­ет­ся урав­не­ни­я­ми:

Для упро­ще­ния вы­чис­ле­ний счи­тать, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния g  =  10 м/с².

Во всем мире по­пу­ляр­на игра в хок­кей. Мно­гое в игре за­ви­сит от вра­та­ря. Для от­ра­бот­ки на­вы­ков вра­та­рей и обес­пе­че­ния тре­ни­ро­воч­но­го про­цес­са, ко­то­рый бы не за­ви­сел от дру­гих иг­ро­ков, со­зда­ли шай­бо­мет. Ав­то­мат можно на­стро­ить так, чтобы он вы­бра­сы­вал шайбы с за­дан­ной вре­мен­ной ча­сто­той, ско­ро­стью и под опре­де­лен­ным углом.

Пусть ав­то­мат уста­нов­лен на льду на рас­сто­я­нии l  =  12 м от ворот. Брос­ки про­из­во­дят­ся в плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ной по­верх­но­сти льда и линии ворот, с не­ко­то­рой фик­си­ро­ван­ной на­чаль­ной ско­ро­стью вы­бро­са шайбы V₀ и под раз­лич­ны­ми уг­ла­ми α к по­верх­но­сти льда. При­мем точку вы­бро­са за на­ча­ло от­сче­та си­сте­мы ко­ор­ди­нат. Ось абс­цисс на­пра­вим пер­пен­ди­ку­ляр­но цен­траль­ной линии хок­кей­ной пло­щад­ки в сто­ро­ну ворот. Ось ор­ди­нат  — вверх, пер­пен­ди­ку­ляр­но по­верх­но­сти льда. В рас­по­ря­же­нии вра­та­ря име­ет­ся ло­вуш­ка для шайб, изоб­ра­жен­ная на ри­сун­ке точ­кой M. Тра­ек­то­рия дви­же­ния шайбы, на­хо­дя­щей­ся в воз­ду­хе и рас­смат­ри­ва­е­мой как ма­те­ри­аль­ная точка, в за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни t в ука­зан­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат опи­сы­ва­ет­ся урав­не­ни­я­ми:

Опре­де­ли­те диа­па­зон воз­мож­ных зна­че­ний квад­ра­та на­чаль­ной ско­ро­сти вы­бро­са шайбы, при каж­дом из ко­то­рых шайба по­па­да­ет в ло­вуш­ку и мак­си­маль­но воз­мож­ная вы­со­та ло­вуш­ки в мо­мен­ты за­хва­та шайбы не пре­вос­хо­дит 1 м. Для упро­ще­ния вы­чис­ле­ний счи­тать, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния g  =  10 м/с².

На пе­ре­ме­не в ка­би­нет ма­те­ма­ти­ки вле­те­ла муха и стала пол­зать по пла­ка­ту, на ко­то­ром в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти был изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции со стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том рав­ным 1. Сна­ча­ла муха дви­га­лась точно по па­ра­бо­ле до точки с абс­цис­сой рав­ной 2, но затем на­ча­ла дви­гать­ся по пря­мой пока снова не по­па­ла на па­ра­бо­лу в точку с абс­цис­сой рав­ной 4. Най­ди­те f(3), если из­вест­но, что пря­мая пе­ре­се­ка­ет путь мухи по от­рез­ку пря­мой в его се­ре­ди­не.

На пе­ре­ме­не в ка­би­нет ма­те­ма­ти­ки вле­те­ла муха и стала пол­зать по пла­ка­ту, на ко­то­ром в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти был изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y  =  f(x), со стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том рав­ным −1. Сна­ча­ла муха дви­га­лась точно по па­ра­бо­ле до точки с абс­цис­сой рав­ной 2, но затем на­ча­ла дви­гать­ся по пря­мой пока снова не по­па­ла на па­ра­бо­лу в точку с абс­цис­сой рав­ной 4. Най­ди­те f(3), если из­вест­но, что пря­мая y  =  2023x пе­ре­се­ка­ет путь мухи по от­рез­ку пря­мой в его се­ре­ди­не.

Су­ще­ству­ет ли мно­го­уголь­ник, не име­ю­щий цен­тра сим­мет­рии, ко­то­рый можно раз­ре­зать на два вы­пук­лых мно­го­уголь­ни­ка, каж­дый из ко­то­рых имеет центр сим­мет­рии?

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти от­ме­ти­ли точки A(0, 0) и B(1000, 0), а также точки Потом про­ве­ли все­воз­мож­ные пря­мые AC_i и Сколь­ко це­ло­чис­лен­ных точек пе­ре­се­че­ния у всех этих пря­мых? (Це­ло­чис­лен­ная точка это та, у ко­то­рой обе ко­ор­ди­на­ты целые).

На плос­ко­сти в ор­то­го­наль­ной про­ек­ции изоб­ра­же­на пра­виль­ная пи­ра­ми­да SABC (с ос­но­ва­ни­ем ABC) и вы­со­та AH грани SAB, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Как с по­мо­щью цир­ку­ля и ли­ней­ки по­стро­ить изоб­ра­же­ние цен­тра сферы, опи­сан­ной возле пи­ра­ми­ды?