сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 9711
i

Во всем мире по­пу­ляр­на игра в хок­кей. Мно­гое в игре за­ви­сит от вра­та­ря. Для от­ра­бот­ки на­вы­ков вра­та­рей и обес­пе­че­ния тре­ни­ро­воч­но­го про­цес­са, ко­то­рый бы не за­ви­сел от дру­гих иг­ро­ков, со­зда­ли шай­бо­мет. Ав­то­мат можно на­стро­ить так, чтобы он вы­бра­сы­вал шайбы с за­дан­ной вре­мен­ной ча­сто­той, ско­ро­стью и под опре­де­лен­ным углом.

Пусть ав­то­мат уста­нов­лен на льду на рас­сто­я­нии l  =  12 м от ворот. Брос­ки про­из­во­дят­ся в плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ной по­верх­но­сти льда и линии ворот, с не­ко­то­рой фик­си­ро­ван­ной на­чаль­ной ско­ро­стью вы­бро­са шайбы V0 и под раз­лич­ны­ми уг­ла­ми α к по­верх­но­сти льда. При­мем точку вы­бро­са за на­ча­ло от­сче­та си­сте­мы ко­ор­ди­нат. Ось абс­цисс на­пра­вим пер­пен­ди­ку­ляр­но цен­траль­ной линии хок­кей­ной пло­щад­ки в сто­ро­ну ворот. Ось ор­ди­нат  — вверх, пер­пен­ди­ку­ляр­но по­верх­но­сти льда. В рас­по­ря­же­нии вра­та­ря име­ет­ся ло­вуш­ка для шайб, изоб­ра­жен­ная на ри­сун­ке точ­кой M. Тра­ек­то­рия дви­же­ния шайбы, на­хо­дя­щей­ся в воз­ду­хе и рас­смат­ри­ва­е­мой как ма­те­ри­аль­ная точка, в за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни t в ука­зан­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат опи­сы­ва­ет­ся урав­не­ни­я­ми:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x = V_0 t ко­си­нус альфа ,y = V_0 t синус альфа минус дробь: чис­ли­тель: g t в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы .

Опре­де­ли­те диа­па­зон воз­мож­ных зна­че­ний квад­ра­та на­чаль­ной ско­ро­сти вы­бро­са шайбы, при каж­дом из ко­то­рых шайба по­па­да­ет в ло­вуш­ку и мак­си­маль­но воз­мож­ная вы­со­та ло­вуш­ки в мо­мен­ты за­хва­та шайбы не пре­вос­хо­дит 1 м. Для упро­ще­ния вы­чис­ле­ний счи­тать, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния g  =  10 м/с2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим время из пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы и под­ста­вим во вто­рое

y левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: V_0 x, зна­ме­на­тель: V_0 ко­си­нус альфа конец дроби синус альфа минус дробь: чис­ли­тель: g левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: V_0 ко­си­нус альфа конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =x тан­генс альфа минус дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: V_0 ко­си­нус альфа конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,

сле­до­ва­тель­но,

y левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x тан­генс альфа минус дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 плюс тан­генс в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да

h=l тан­генс альфа минус дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка l пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс тан­генс в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка .

Чтобы шайба по­па­ла в ло­вуш­ку на вы­со­те h, тре­бу­ет­ся вы­пол­не­ние усло­вия

 дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс тан­генс в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка минус l тан­генс альфа плюс h=0 \quad \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби тан­генс в квад­ра­те альфа минус l тан­генс альфа плюс h плюс дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби =0,

D= левая круг­лая скоб­ка l пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби левая круг­лая скоб­ка h плюс дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 \Rightarrow h_\max = дробь: чис­ли­тель: V_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 g конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби . \endaligned

При этом  тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: l, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: g l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: V_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: g l конец дроби . Это же можно было по­лу­чить, вы­де­лив пол­ный квад­рат,

 h=l тан­генс альфа минус дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс тан­генс в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби левая круг­лая скоб­ка тан­генс альфа минус дробь: чис­ли­тель: V_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: g l конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: V_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 g конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: V_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 g конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби .

Опре­де­лим диа­па­зон из­ме­не­ния квад­ра­та ско­ро­сти, если l  =  12 м и 0 мень­ше или равно h_\max мень­ше или равно 1:

 0 мень­ше или равно h= дробь: чис­ли­тель: V_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 g конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: g, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: 144, зна­ме­на­тель: V_0 в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно 1 \Rightarrow 0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: V_0 в сте­пе­ни 4 минус g в квад­ра­те умно­жить на 144, зна­ме­на­тель: 2 g V_0 в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно 1 \Rightarrow  си­сте­ма вы­ра­же­ний V_0 в сте­пе­ни 4 боль­ше или равно 144 g в квад­ра­те ,V_0 в сте­пе­ни 4 минус 2 g V_0 в квад­ра­те минус g в квад­ра­те умно­жить на 144 мень­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Таким об­ра­зом,

 си­сте­ма вы­ра­же­ний V _ 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1 4 4 g в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ,V _ 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 g V _ 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус g в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 1 4 4 мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний V_0 в квад­ра­те боль­ше или равно 12 g, левая круг­лая скоб­ка V_0 в квад­ра­те минус g пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус g в квад­ра­те умно­жить на 145 мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний V _ 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1 2 g , левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка V _ 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус g пра­вая круг­лая скоб­ка минус g умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 4 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \underbrace левая круг­лая скоб­ка V _ 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус g пра­вая круг­лая скоб­ка плюс g умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 4 5 конец ар­гу­мен­та _ боль­ше 0 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний V_0 в квад­ра­те боль­ше или равно 12 g,V_0 в квад­ра­те мень­ше или равно g плюс g умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та конец си­сте­мы . \Rightarrow 12 g мень­ше или равно V_0 в квад­ра­те мень­ше или равно g плюс g умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та .

Итого: 120 мень­ше или равно V_0 в квад­ра­те мень­ше или равно 10 плюс 10 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 120 мень­ше или равно V_0 в квад­ра­те мень­ше или равно 10 плюс 10 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та или при­бли­жен­но [120; 130].

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рииБаллы
Не вы­пол­нен ни один пункт, при­ве­ден­ный ниже, и/или про­сто за­пи­сан вер­ный ответ0
Верно опи­са­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель, по­лу­че­ны не­об­хо­ди­мые со­от­но­ше­ния5
Най­де­на верно одна из гра­ниц диа­па­зо­на10
При вер­ных рас­суж­де­ни­ях до­пу­ще­на одна вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка15
При­ве­де­но пол­но­стью обос­но­ван­ное ре­ше­ние, по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты20