PDF-версии: 
a) Постройте эскиз графика функции 
б) Изобразите на плоскости множество точек 
координаты которых удовлетворяют равенству
в) Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет два решения.
г) Докажите, что 
при 
Решение. а) Ясно, что вначале следует строить график функции
Вместо того чтобы проделать стандартное исследование при помощи производной, поступим по-другому. Поскольку 
где
то, построив (при помощи двух параллельных переносов) график функции g (см. рис.), далее будем рассуждать следующим образом. Функция 
монотонно возрастает, значит, функция 
убывает: от −1 до 
на интервале 
и от 
до −1 на луче 
Ответ: см. рис.
б) Поскольку отрезок 
является областью значений и синуса и косинуса, то 
Заметим, что наибольшее значение 
при 
не всегда равно a (типичная ошибка!), поскольку
(кстати, по определению степени с произвольными показателями, 
). Поэтому равенство имеет место при 
где 
и ветви гиперболы 
Ответ: см. рис.
в) Эта задача интересна тем, что естественный подход — посмотреть на картинки — может привести к неверному предположению.
Если 
то каждое из уравнений данной системы задает параболу с фиксированной вершиной. На рисунках изображены параболы для «очень отрицательного» значения a, когда система решений не имеет, и «очень положительного», когда ясно, что решений четыре (можно использовать непрерывность функций 
и характер их монотонности). Если 
то из симметричности картинки ясно, что возможные точки пересечения лежат на прямой откуда 
и 
Таким образом, похоже, что при 
система имеет одно решение (параболы касаются), а если 
то два. Случай 
несколько более загадочен. Опять-таки ясно, что при 
система имеет четыре решения, но что происходит, если 
Оказывается, параболы могут пересечься в четырех точках (см. рис.). Проделаем вычисления. Вычитая первое уравнение системы из второго, получаем 
откуда 
(этот случай был разобран), или же 
В последнем случае приходим к уравнению 
в котором удобно сделать замену 
Полученное уравнение 
имеет решение при 
Заметим, что если 
то 
и 
то 
Ответ: 
г) Решение основано на идее оценки подынтегрального выражения:
поэтому данный интеграл также стремится к нулю.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в двух различных точках.
и обычных преобразований получаем неравенство 
значит, (учитывая, что 
или 
касается оси абсцисс в точках 
и 
(см. рис.), поэтому график данной функции касается прямой 
в точках с такими же абсциссами. Этот факт очевиден с геометрической точки зрения. Пусть два графика имеют общую касательную. Если добавить к каждой из данных функций одно и то же слагаемое, то новые графики также будут иметь общую касательную. Приведем в нашем случае и формальное доказательство.
и 
Имеем: 
и 
поэтому 
— многочлен и 
Тогда 
то 
где 
— многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем 
откуда 
значит, 
и 
касается графика многочлена 
то разность 
делится на 
(
— линейная функция) касается графика 
в точках с абсциссами 
и 
то разность 
делится на 
значит, 
— квадратный трехчлен. Пусть 
— еще одна двойная касательная. Тогда 
откуда 
то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
не имеет действительных корней.
делится на 
делится на 
то 
однако это число не является корнем исходного уравнения. Приведем еще одно рассуждение. Ясно, что положительных корней данное уравнение не имеет. Если 
то 
то опять-таки 
являются числа 
Многочлен 
делится на 
если 
и 
являются и его корнями. Имеем 
в условии на число n даст неверное условие. Дело в том, что 3 — простое число, поэтому 
тогда и только тогда, когда 
Решение, которое будет сейчас приведено, вообще не использует никакой тригонометрии, за исключением самой первой формулы.
это так называемый первообразный корень степени 
при 
и что числа 
-- корни уравнения 
(см\. решение пункта а)). Поскольку все эти числа различны, то многочлен 
тогда и только тогда, когда 
при 
Имеем 
Предположим, что 
— общий делитель чисел n и 
Пусть 
тогда число ln кратно 
поэтому 
и 
Если же 
то 
поэтому 
значит, 
При каких p чаще будет выигрывать первый игрок?
Однако для решения задачи знать эту формулу совсем не обязательно, достаточно просто навыка в использовании «правила произведения» и знакомства с определением чисел сочетаний. Действительно: буква «о» может стоять на любом из шести мест, для буквы «а» (когда «о» уже поставлена) имеется 
вариантов, на оставшихся трех местах располагаются буквы «б». Кстати говоря, тот, кто проведет подобное рассуждение, может увидеть, что если вначале выбирать три места для букв «б», то всего вариантов 
так что 
Полученное равенство является частным случаем доказываемого аналогичным образом тождества 
используемого в следующем пункте.
тогда 
так что 
С другой стороны, 
поэтому 
!
вероятность выпадания двух решек 
Значит, вероятность того, что первый игрок выиграет, равна 
чаще будет выигрывать он.